Je reviens à ma marotte actuelle, tenter de lire et comprendre Badiou. Dans le premier billet, j’exposais le point de départ : la question de l’être telle qu’elle a été revitalisée au XXème siècle par Heidegger et le choix badiousien de refuser de traiter l’être comme Un, ce qui le conduit à formuler que l’Être est multiple. Or la question du multiple est celle qu’abordent au premier chef les mathématiques au travers de la théorie cantorienne des ensembles. Dans le second, après l’interruption due aux fêtes de fin d’année, je tentais de comprendre la signification que Badiou donnait à certains des axiomes de la théorie ensembliste et en particulier à celui de l’ensemble des parties. Il apparaissait là, non sans quelques tours de passe-passe énigmatiques, que le multiple se présentait deux fois, une première fois dans l’ensemble dont il est membre, et une seconde dans celui qui contient toutes les parties, autrement dit : après avoir été présenté, il était re-présenté, ce qui donnait à Badiou l’occasion d’une digression vers le politique : si le premier ensemble est celui d’une situation, le second ne serait-il pas associé à l’état de cette situation ? Un pas de plus conduisant à l’Etat, tout simplement… Cela permettait d’opérer des différences dans une situation donnée entre qui est présenté sans être représenté (le singulier) ou l’inverse (l’excroissance). Le troisième abordait ce qui fait l’essentiel de la théorie de Cantor – car si on en restait aux ensembles finis, ce serait un jeu d’enfant – à savoir les ordinaux transfinis, qui fondent, du point de vue de Badiou, l’idée que l’Infini est profondément dans l’Être, mais qui aussi lui permettent, là encore non sans quelques contorsions bizarres, d’opérer la distinction entre Nature et Histoire (la Nature étant du côté de l’ensemble ordinal parce qu’elle unit harmonieusement appartenance et inclusion (!), l’Histoire du côté du singulier pour lequel ce qui est élément n’est pas forcément inclus).

Lorsque nous en sommes là, nous constatons qu’il y a une infinité d’infinis : c’est l’objet de ce quatrième billet.

1– Le paradis de Cantor

On a beaucoup spéculé sur le fameux « paradis de Cantor »… On appelle ainsi la myriade d’infinis qui surgissent dès qu’on a posé l’existence de ω₀, c’est-à-dire l’axiome de l’infini. Un esprit platonicien tel que l’était Cantor les conçoit tous comme « existants » au sein d’un « Paradis » que seul le mathématicien pourrait atteindre. On pourrait dire aussi, en admettant comme Badiou (et Parménide!) qu’Etre et Pensée se conjoignent (ils seraient selon moi – cf. billet précédent – comme les deux faces d’une bande de Moebius), qu’ils s’inscrivent comme inéluctables du côté de la Pensée (mais au bout d’un tour sur le ruban, on les retrouve du côté de l’Etre).

image de l’infini? la bibliothèque de Borges

D’où viennent ces infinis ? Dès que nous avons ω₀, il va de soi que nous pouvons lui appliquer la fameuse transformation α→α∪{α} et obtenir donc ω₀∪{ω₀}, autrement dit le successeur de ω₀ que nous pouvons noter pour plus de commodité ω₀ + 1, puis, bien entendu ω₀ + 2, ω₀ + 3, etc. suite en bijection avec ω₀ qui donc (par un axiome de remplacement qui autorise que tout ce qui est en bijection avec un ordinal soit un ordinal) elle-même connaît une « limite », à savoir ce que nous pouvons noter ω₀ + ω₀ autrement dit 2ω₀ et ainsi de suite pour obtenir 3ω₀, 4ω₀ etc. jusqu’à ω₀ ω₀ autrement dit ω₀² et ainsi de suite encore… jusqu’à de vertigineuses « tours » de ω₀…

des tours d’infinis…

« Servent »-ils tous à quelque chose ? Nous avons appris que les ordinaux « servaient » à nombrer les multiples, autrement dit à en dire le nombre d’éléments, ce qu’on appelle le cardinal de l’ensemble. Pour les finis, tout est simple, un ensemble fini a nécessairement un cardinal n, où n est un entier de la suite des ordinaux entiers finis. On associe pour cela à l’ensemble en question, au moyen d’une bijection (correspondance un-à-un entre les éléments de deux ensembles différents) un ordinal de cette suite. Dans le cas fini, un seul correspond. Mais dans le cas infini ? Nous tombons ici sur d’apparents paradoxes – qui n’en sont que pour qui serait attaché à une vue intuitive et simpliste de l’infini – qui avaient déjà été relevés par… Galilée ! On sait par exemple qu’il y a « autant » de nombres pairs que de nombres entiers, « autant » de carrés d’entiers que d’entiers etc. (on le sait parce que, par exemple, on peut établir une bijection entre les entiers et les pairs, c’est l’application qui à tout entier pair associe sa moitié) alors que, dans chaque cas, un des deux ensembles est strictement inclus dans l’autre. On peut même caractériser un ensemble infini comme un ensemble qui admet d’être mis en bijection avec une de ses parties strictes. Il pourra donc y avoir plusieurs ordinaux associés à un même ensemble infini, nous conviendrons alors que le cardinal de l’ensemble est le plus petit ordinal pouvant être mis en bijection avec lui. On notera ainsi que tous les ordinaux infinis donnés plus haut, les ω₀ + 2, ω₀ + 3, etc. les 2ω₀, 3ω₀, 4ω₀ etc. les ω₀², ω₀², ω₀², etc. sont tous en bijection avec les ensembles infinis en bijection avec ω₀. ω₀ est donc le cardinal de l’ensemble ℕ (on vérifie facilement que celui-ci ne peut être en bijection avec aucun des ordinaux inférieurs à ω₀ puisque ceux-ci sont tous finis), en tant que cardinal, on le note alors plutôt ℵ₀.

2- L’excès de l’état sur la situation et l’hypothèse du continu

La question cruciale apparaît alors : existe-t-il des cardinaux strictement plus grands que ℵ₀ ? La réponse est : OUI. Elle provient du théorème de Cantor-Bernstein qui dit que pour tout ensemble E, son cardinal est strictement inférieur à celui de l’ensemble de ses parties : Card(E) < Card(℘(E)), et donc en particulier Card(ℕ) < Card(℘(ℕ)).

écriture de Cantor

Il y a plus de parties dans un ensemble qu’il n’y a d’éléments : cela, dans le jargon badiousien, se dit : excès de l’état sur la situation. Même dans le cas infini.

Ce qui entraîne que, parmi les ordinaux infinis (ou transfinis) plus grands que ω_0, il en existe nécessairement au moins un qui ne peut être mis en bijection avec ce dernier et qui, donc, est strictement plus grand que tous ceux déjà énumérés. Appelons ω₁ le plus petit de ces ordinaux strictement plus grands que ω₀. La question est maintenant : est-ce bien celui-là qui est, en même temps, LE cardinal de ℘(ℕ) ? Autrement dit : est-ce que Card(℘(ℕ)) = ω₁ ? C’est là que va intervenir un « résultat » bien déconcertant : c’est comme vous voulez ! Et oui, cette assertion qu’on appelle l’hypothèse du continu, après que Gödel eût démontré qu’on ne pouvait pas la réfuter, Cohen démontra qu’on ne pouvait pas, non plus, la prouver vraie !

NB : il est possible de montrer qu’il y a autant d’éléments dans ℘(ℕ) que dans ℝ (l’ensemble des nombres réels) car, grosso-modo, un réel est une suite quelconque (finie ou infinie) d’entiers. L’hypothèse du continu se dit alors aussi : Card(ℝ) = ω₁ d’où son nom, puisque ℝ est la droite continue.

Bien sûr, on n’en finit jamais avec l’Infini… Il n’échappera à personne que ω₁ étant donné, et étant un ensemble, il admet automatiquement un ℘(ω₁) dont le cardinal est inévitablement supérieur, ce qui fonde l’existence d’un ω₂ et ainsi de suite, bref : une suite infinie de cardinaux infinis, dite aussi suite des alephs, dont il y aurait « autant » d’éléments que d’ordinaux, à ceci près que, comme le dit Badiou en clôture de sa méditation 26 :

cet « autant » est illusoire, de ce qu’il lie deux totalités non pas seulement inconsistantes mais inexistantes. Pas plus en effet que ne peut exister l’ensemble de tous les ordinaux – ce qui se dit : la Nature n’existe pas – pas plus ne peut exister l’ensemble de tous les cardinaux, soit l’Infini absolument infini, l’infini de toutes les infinités intrinsèques pensables. Ce qui se dit cette fois : Dieu n’existe pas. (p. 306)

et oui, voilà où nous en sommes : il y a de l’Infini dans l’Être et même une infinité d’infinis, telle qu’aucun d’eux ne soit plus grand que tous les autres, ce que Badiou traduit par la non-existence de Dieu. Il y a aussi, donc, toujours un excès de l’état sur la situation (ce qui serait surprenant pour qui, ne connaissant pas la théorie des ordinaux, croirait naïvement que tous les infinis se valent et qu’il y aurait autant de parties que d’éléments dans un ensemble pour peu qu’il soit infini, ce qui garantirait un « monde » bien sage dans lequel tout ce qui est présent serait représenté). Est-ce à dire que la prédominance d’un état sur la situation qu’il contrôle serait éternelle ? Ce serait faire sans l’Histoire… ou plutôt sans la catégorie d’Evénement. Qu’est-ce qu’un événement ? Vous le saurez lors du prochain billet portant sur Etre et événement, ouvrage d’Alain Badiou paru récemment en collection de poche…

Infini dans l’Être, infini dans la Littérature