Badiou (2) (maths, ontologie et … gilets jaunes)

J’ai présenté il y a quelques semaines le début de la réflexion de Badiou sur le lien entre mathématiques et ontologie. Etudier l’être en tant qu’être nous conduit, tant que nous refusons les solutions simplistes de l’Un, à envisager l’être comme multiple, fait de situations qui, initialement, ne forment pas des « Un » mais sont, littéralement, des entités inconsistantes, non comptées. Le Un surgit après-coup dans l’opération de « compte-pour-un » qui se trouve associée à chaque type de structure. Des multiples sont des ensembles et il n’y a pas de meilleure manière de comprendre leurs lois que de faire recours à la théorie mathématique des ensembles. En ses débuts (Cantor), celle-ci a été vue à partir d’une définition explicite de la notion d’ensemble, elle a alors abouti à de graves contradictions dont il n’a été possible de sortir que par l’axiomatisation (Zermelo, Fraenkel, Bernays) autrement dit le recours à une définition implicite de la notion. Ce faisant, on a pu remarquer qu’un seul ensemble faisait l’objet d’un axiome d’existence absolue (non relative à des ensembles déjà-là) : le vide, noté Ø. Ainsi le vide est-il la base de l’ontologie ou, dit autrement, « le nom propre de l’Être » (puisqu’aussitôt posé, on ne peut que constater son unicité, tout comme le nom propre n’a, dans son référent, qu’un unique objet ou une unique personne).

Dans la suite du premier tome de « l’être et l’événement », comme on peut s’y attendre, Badiou analyse l’impact des autres axiomes sur la doctrine de l’être. Nous ne sommes pas obligés de lui faire crédit en tout point. En philosophe qu’il est (et non mathématicien), il se donne quelques libertés d’interprétation qui peuvent faire sourire le spécialiste. Ce qui est frappant, par exemple, c’est qu’à l’occasion de l’énoncé de l’axiome des parties (« étant donné n’importe quel ensemble a, il existe toujours un ensemble, noté p(a), qui est l’ensemble de toutes les parties de a »), il découvre semble-t-il avec émerveillement ce qui est une grande banalité : la distinction absolue entre relation d’appartenance () et relation d’inclusion (). Il ne saurait échapper à personne qu’une fois que nous avons le vide et la relation d’inclusion (définie comme : a b si et seulement si tout ce qui appartient à a appartient aussi à b, ou pour le dire en termes ontologiques : tout ce qui est présenté dans la situation a l’est aussi dans la situation b), bien sûr, on a: Ø E quel que soit l’ensemble E (et donc en particulier Ø Ø). Une autre manière de le dire et qui le rend évident est que lorsque nous n’ajoutons rien à un ensemble, l’ensemble est inchangé (en termes mathématiques : A Ø = A, or dire A B = A c’est exactement dire que B A). C’est assez banal, encore une fois. Et en tirer l’idée, comme Badiou le fait, que se trouve ainsi attestée l’omniprésence du vide (!) et que la propriété d’inclusion du vide dans tout ensemble « fait preuve de son errance dans toute présentation » fait un peu sourire…

On saisit intuitivement la pertinence ontologique de ce théorème qui s’énonce : « L’ensemble vide est un sous-ensemble de n’importe quel ensemble supposé existant. » Car si le vide est ce point d’être imprésentable, dont Ø marque d’un nom propre l’unicité d’existence, aucun multiple ne peut, par son existence, faire barrage à ce que s’y dispose cet inexistant. (p. 101)

Et plus loin :

les sous-ensembles sont le lieu même où peut errer ce qui n’est multiple de rien, tout comme le rien lui-même erre dans le tout.

Ainsi, le vide « erre » et ce faisant, les ensembles, les multiples purs vus au travers de la seule relation d’appartenance, ne seraient pas « fixés », ils seraient toujours exposés à cette catastrophe épouvantable de la rencontre avec leur vide ! A la méditation huit, Badiou dit effectivement : « Il est requis d’interdire cette catastrophe de la présentation que serait la rencontre de son propre vide », il n’est alors selon lui de « garantie de consistance » que dans le fait que « toute structure soit doublée d’une méta-structure qui la ferme à toute fixation du vide » (p. 109). Le compte-pour-un de la première structure ne suffit pas pour que l’errance du vide se fixe, il faut le compte-pour-un d’une méta-structure, laquelle se trouve être (comme les choses sont bien faites, a-t-on envie de dire) l’ensemble p(a) par rapport à la situation initiale a…

Mais alors si le premier compte n’opère que sur les présentations de l’être situationnel, sur quoi opère le second si ce n’est sur non pas des présentations mais des re-présentations de l’être ! (Comme je le disais plus haut, les choses sont bien faites). La méta-structure est ainsi affaire de représentation. Et d’ailleurs Badiou fait un magnifique tableau à la page 119 où tout cela se trouve résumé.

A vrai dire, il ne semble pas utile de tenir un tel discours, de « dramatiser » en quelque sorte le vocabulaire mathématique, d’user d’une telle imagerie lorsque le discours mathématique est, lui, si limpide (au point qu’il ne nécessite nul méta-discours, nul commentaire) : il suffit, par exemple, de prendre en compte l’idée toute simple qu’en théorie des ensembles, il y a une différence radicale entre a (l’élément) et {a} (le singleton, l’ensemble réduit à un seul élément, cet a lui-même), si aE, {a}E et donc {a}p(E). E et p(E) ne contiennent donc pas la même chose, si a appartient au premier, c’est {a} qui appartient au second et on peut bien dire à ce moment là que si a est présenté dans la première opération, il est re-présenté dans la seconde. Il est joli de dire que p(E) est un espace de représentations car, après tout, on pourrait se dire que les sous-ensembles de E (si E a pour éléments a, b, c, alors p(E) a pour éléments Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}) sont les « tableaux » – au sens pictural du terme – que l’on peut faire à partir des trois personnages de E : on peut représenter aucun, l’un d’eux, deux d’entre eux ou bien tous.

L’idée d’un couple présentation / représentation est féconde car c’est elle maintenant qui nous ouvre la voie à une réflexion sur le politique (méditation 9). Si Badiou nomme « état de la situation » cette méta-structure que nous avons vue, qui est une sorte de réduplication de la structure, ce n’est pas pour rien. Grâce à elle s’exprime en effet quelque chose de stable, qui est garant du tenir-ensemble des parties de la situation et si l’on se transporte vers le politique, on aura tôt fait d’y voir la figure de l’Etat. Le philosophe a plusieurs arguments pour étayer cette comparaison. Il n’oublie pas, par exemple, son marxisme d’origine :

ce fut une grande acquisition du marxisme que de comprendre que l’Etat n’avait pas rapport, dans son essence, aux individus, que la dialectique de son existence n’était pas celle de l’un de l’autorité au multiple des sujets. (p. 121)

Nous voici carrément confrontés, penseront certains, aux fameux corps intermédiaires… encore qu’il ne s’agisse pas encore nécessairement de syndicats ou de partis, mais de masses (ou de classes). Le dispositif marxiste « pose que ce dont l’Etat assure le compte-pour-un n’est pas originairement le multiple des individus, mais le multiple des classes d’individus » (p. 122)

même si l’on abandonne le lexique particulier des classes, l’idée formelle que l’Etat, qui est l’état de la situation historico-sociale, traite des sous-ensembles collectifs et non des individus, est essentielle. Il faut se pénétrer de l’idée que l’essence de l’Etat est de ne pas avoir à connaître des individus, et que quand il en a à connaître, c’est-à-dire, dans les faits, toujours, c’est selon un principe de compte qui ne les concerne pas comme tels (p. 122)

Ceci nous parle particulièrement dans la situation présente : il serait vain d’attendre que l’Etat veille au bien être individuel de chacun de nous, sur nos sentiments, nos émotions, notre malaise ou notre douleur propre, individuelle telle que marquée localement, il ne peut en avoir qu’à ce que nous sommes dans la représentation, autrement dit pas moi Alain Lecomte mais {Alain Lecomte} (car je sais maintenant qu’à moi tout seul, je peux former classe ou ensemble). J’ajoute à la méditation badiousienne des considérations qui me viennent d’ailleurs : en logique dite « linéaire » (cf. Jean-Yves Girard, déjà mentionné sur ce blog), on en vient à opposer le local au spirituel. Dans la terminologie girardienne, l’ensemble tel le singleton est une entité dite « spirituelle » au sens où elle est délocalisée et de ce fait peut se retrouver partout, comme l’esprit, à l’opposé de la marque (ou locus) qui a toujours une localisation bien particulière, analogue plutôt en cela à la lettre. L’Etat, pour Girard, serait dit « spirituel », de même que ma représentation en son sein (quand je vote par exemple). Badiou se rapproche de cela bien que son appareillage formel soit tout entier dans le « spirituel » (la théorie des ensembles…autrement dit un appareillage un peu vieillot).

Ceci dit, l’Etat apparaît toujours comme une nécessité (puisque la méta-structure naît inévitablement de la structure, tout en en étant, certes, séparée) : Badiou règle ici ses comptes avec la vieille idée du marxisme selon lequel, avec la victoire du communisme, il y aurait dépérissement de l’Etat. Ce pauvre Lénine, au moment de sa mort, pouvait bien être catastrophé de voir à quel point l’Etat, loin de s’abolir, n’avait fait que se renforcer. L’Etat a toujours une fonction par rapport à une situation historico-sociale, elle peut bien sûr être de coercition – et dans ce cas, on ne voit pas bien de quoi l’Etat puisse être la représentation, réduit qu’il serait à une machinerie bureaucratique et militaire, c’est ici que Badiou parle d’excroissance de l’Etat. Mais elle est le plus souvent de simple gestion (dans nos sociétés, l’Etat a un rôle protecteur, on n’imagine pas comment pourrait fonctionner une Sécurité Sociale sans Etat – ou une Education Nationale sans Etat, quels que soient les intérêts de classe mis à une certaine époque en avant). En bref, dans sa fonction de compte-pour-un des éléments de la méta-structure (c’est-à-dire les sous-ensembles de la situation), l’Etat veille à ce qu’il n’y ait pas de dé-liaison, dit trivialement : sans Etat, les sous-ensembles se taperaient sur la gueule.

La séparation de l’Etat résulte moins de la consistance de la présentation que du péril de l’inconsistance. Cette idée, on le sait, remonte à Hobbes (l’autorité transcendante absolue est exigée par la guerre de tous contre tous) (p. 126)

Thomas Hobbes

ce faisant, nous avons introduit l’idée d’excroissance et nous avons, en filigrane, dessiné la possibilité d’un décrochage de la représentation par rapport à la présentation. Ici, je ne sais pas très bien comment Badiou se débrouille avec la théorie des ensembles(*) : dans celle-ci, en effet, il est impossible de concevoir un élément qui ne figurerait pas sous la forme d’une partie (ne serait-ce que sous la forme d’un singleton). Néanmoins, on peut toujours spéculer et, une fois qu’on possède ces deux concepts, prétendre qu’il peut exister des présentés non représentés et des représentés non présentés. Les premiers, Badiou les appelle « singuliers » et les seconds « excroissances ». Dans le vocabulaire marxiste classique, le prolétariat occupe évidemment la place des singuliers, les institutions ne sont pas faites pour lui et il n’y est pas représenté. Quant aux excroissances, nous les avons vues au niveau de l’Etat (et ce sont elles donc qu’il faudrait abolir à défaut de l’Etat lui-même).

Revenons alors à la situation historico-sociale présente : comment ne pas voir dans le mouvement des Gilets Jaunes, le surgissement de présentés non représentés au sein de la méta-structure ? Difficile de dire ce qu’il en sera demain de ce mouvement, mais gageons que l’une de ses principales causes – au-delà des évidentes revendications de pouvoir d’achat – réside dans la non-représentation au sein de l’Etat de pans entiers de la société (agriculteurs, ouvriers, petits artisans etc.). La revendication du R.I.C. apparaît dans ce contexte comme une lutte pour combler l’anomalie en quoi réside l’existence de ces présentés non représentés : faire en sorte que, sans avoir besoin d’être représentés, on le soit quand même ? Comment faire pour que la présentation suffise sans aucun besoin de « corps intermédiaires » ? La démocratie directe peut-elle être autre chose qu’un fantasme ? A mon humble avis, nous en sommes là. Aux prises avec toutes ces questions, et bien malin sera celui qui dira vers où cela débouchera… La métaphysique badiousienne est probablement trop générale pour nous le dire… (mais cela ne va pas nous empêcher de continuer, dans le futur, à réfléchir sur ses bases !).

(*) En réalité, comme nous le verrons plus tard, ce que demande Badiou à un élément a pour être à la fois présenté et représenté dans la situation b c’est d’être à la fois élément et partie c’est-à-dire d’être dans la situation où on a à la fois a b et a b, ce qui peut sembler étrange mais arrive bel et bien dans le cas des ensembles ordinaux comme nous le verrons dans le billet n°3 consacré à cette réflexion sur L’être et l’événement.

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5 commentaires pour Badiou (2) (maths, ontologie et … gilets jaunes)

  1. Debra dit :

    Nous avons déjà commencé à parler de ces problèmes, depuis un certain temps.
    Je crois qu’il faut tenir compte de la polysémie dans l’idée de l’Un, et de l’unique. Il y a au moins deux sens qui peuvent être dégagés, et ces sens sont dans une position paradoxale. Le « un » de « l’unité » est à conjuguer avec « l’unique », ou le singulier. Vous savez déjà que je n’aime pas le terme « d’individu » pour parler de la PERSONNE SINGULIERE et UNIQUE. (Mais il faudrait regarder le latin classique, et de l’église, pour mieux examiner cela, pour « singulier ».)
    C’est drôle, mais l’introduction dans le système scolaire américain de la théorie des ensembles, enseignée par des institutrices qui n’avaient nullement la sophistication mathématique OU philosophique pour s’atteler à la tache, a sonné le glas de ma découverte des mathématiques dans les années ’60. Triste, mais vrai.

    Pour le vide… il me semble me souvenir vaguement que l’introduction du 0 comme axiome produit des choses irréversibles dans les mathématiques occidentales. Y aurait-il un rapport entre le vide et le zéro ?… Je fais très attention avec tout ce qui peut être tiré du côté du trou noir mélancolique, même si je récuse tout autant le positivisme. Association : rapport entre le vide et le négatif ?
    Mais… Badiou sait peut-être que quand le grand prêtre allait dans le saint des saints dans le temple de Jérusalem, une fois par an, il y voyait.. un sein de femme caché par un voile. Mieux que le vide, je trouve. J’approuve. Je trouve ça… normal, même. (Et il vaut mieux ne pas oublier qu’un certain nombre de rabbins très talentueux ont pris un billet pour un lieu sans retour (la folie, pas le camp) en essayant de regarder l’abîme en face.)

    Pour les gilets jaunes, il me semble incontestable que nous nous trouvons dans un de ces moments où la représentation est mise en défaut dans la civilisation. (Il y en a eu beaucoup d’autres : la Réforme est une autre crise de la représentation, la Révolution française aussi.) Cette crise de/dans la représentation atteint même.. L’ILLUSION THEATRALE. La crise de la représentation se fait sur fond de crise sur… la vérité vraie, concept que je n’adore pas du tout, comme vous le savez. M et Mme Tout le Monde.. ont-ils RAISON d’estimer que leurs représentants ne sont pas légitimes pour les représenter ? Ont-ils raison de refuser d’être représentés ?? Vous devriez savoir que M et Mme Tout le Monde (et c’est nous..) vont très loin dans la révolte du « non, io non voglio piu servir » en ce moment. Dangereusement loin, même.
    Je vais conclure sur Isaïe, comme j’aime le faire : « nous, tous, comme des moutons nous sommes égarés, chacun suit son propre chemin, et le Seigneur fait peser sur Lui l’iniquité de nous tous. » Assez bien dit. Et ça a l’avantage d’être très vieux pour montrer combien le vieux est actuel…

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    • alainlecomte dit :

      merci de votre lecture. 1) Badiou distingue bien le Un de l’unique. Le Un renvoie à l’unité, ce qui fait totalité en soi, il n’est pas forcément « unique ». Un ensemble selon la théorie des ensembles est une multiplicité consistante, autrement dit il fait « Un », ce qui ne fait pas « un » c’est une collection trop grande par exemple ce qu’on appelle « l’ensemble de tous les ensembles » qui n’en est pas un, en fait… 2) oui, zéro et vide sont liés. « zéro » est le nombre associé à vide, comme « un » est associé à l’ensemble {vide} – qui contient comme seul élément: le vide lui-même et qui donc n’est pas vide. L’apparition du zéro n’est pas propre à l’occident mais s’origine des mathématiques indiennes et arabe, en arabe, zéro se dit « sifr » autrement dit: chiffre, car il est « le chiffre par excellence » 3) ah bon? le grand prêtre allait se rincer l’oeil en cachette? je ne savais pas… 4) il me semble que la « crise de la représentation » ne concerne pas la représentation en soi mais plutôt le fait que, comme le sous-entend Badiou, il y a trop de « présentés » non représentés. Les gilets jaunes sont essentiellement des personnes jamais représentées au niveau de l’Etat (combien de vrais ouvriers, de vrais paysans etc. au sein de l’Assemblée Nationale?).

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      • Debra dit :

        Merci.
        Non, je persiste et signe avec crise dans la représentation. La crise dans la représentation s’origine dans la position mélancolique de renvoyer la question de la foi, et des croyances aux dupes (curieusement en rapport avec ce que Lacan pointait dans sa formule, « les non dupes errent..). Renvoyer la foi sous toutes ses formes aux dupes créé… un grand vide dans le corps social, et ce grand vide a tendance à aspirer, comme font les grands vides. Renvoyer la foi aux dupes créé.. des non dupes qui errent et qui postulent qu’ils ne peuvent absolument pas être représentés…
        Pour le grand prêtre… je n’ai pas un grand sens de l’humour, vous le savez.
        Il n’allait pas se rincer l’oeil, il allait rencontrer Dieu sous forme… d’Intime.
        Nous n’avons pas parlé du lien entre le 0, le vide, l’Unique et.. l’Intime.
        Faut-il que l’Intime… soit représenté ?…. OU ? Comment ?
        Premier gilet jaune : la femme anonyme dans l’Evangile de Marc qui oint la tête de Jésus avant la semaine de sa passion, et excite la jalousie de Judas, ce qui met le feu aux poudres.
        L’Evangile de Marc fait dire à Jésus : aussi longtemps qu’on parlera de l’Evangile, on parlera.. DU GESTE DE CETTE FEMME. Cela ne veut pas dire… qu’on la citera, ni qu’on la publiera, ni qu’on la nommera…Mais.. qu’est-ce qu’elle pèse comme poids dans cette histoire, même anonyme.

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  2. « Tous ensemble(s ») ! « Tous ensemble(s) » !
    Les « Gilets jaunes » : coup d’éclat de la représentation « réfléchissante »… idée qu’une boîte de pub style Havas – Muriel Pénicaud connaît – aurait pu se faire payer 100 000 euros si on lui avait demandé de chercher un symbole pour ce mouvement naissant.
    Ces « invisibles », non cités d’ailleurs dans la « Lettre aux Français » de Monsieur le Président de la République, ont obligé le gouvernement à faire « marche arrière » par rapport à certaines mesures fiscales et à entreprendre un vaste « Grand débat national » avec un animateur tombant la veste avant de la retourner à moitié.
    Badiou en tirera sans doute une philosophie basée mathématiquement sur les « gains » que le ministère de l’Economie et des finances est tenu de lâcher (déjà dix milliards d’euros) contre son gré…
    Mais là, je n’écris pas les formules hiéroglyphiques correspondantes ! 🙂

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  3. Debra dit :

    Je reviens sur ce que j’ai écrit, car c’est un sujet qui me passionne, et j’ai été trop elliptique plus haut dans le rapprochement fait avec une foi reniée et la crise de la représentation.
    C’est que le mot « représentation » est polysémique aussi. J’aime assez bien la théorie saussurienne de la langue, qui, en faisant une affaire trinitaire (si, si), avec le triade signifiant/signifié/référent, s’appuie sur la NECESSAIRE représentation, en introduisant un écart avec le monde du référent. (Cf. Lacan, avec ses théories du signifiant qui représente… je ne me souviens plus exactement de la formule, et ne veux pas le trahir.) Comme si Saussure maintenait que le monde auquel on accède dans et par le langage est forcément un monde humain, un monde POUR l’Homme dans la relation avec ses semblables.
    Vous vous souvenez de votre Saussure : un SIGNE n’est pas un signifiant, car un signe est censé exister dans un rapport binaire qui évacue la polysémie et l’ambiguïté. Un signe doit avoir UN SEUL sens. (J’aime bien cette formulation.)
    La théorie moderne de la communication fait de la langue un système de signes, et porte atteinte à la complexité de la représentation. Elle charrie avec elle le.. désir d’abolir la conscience comme écran, et organe ? d’interprétation, pour prôner l’accès direct, non médiatisé, donc.. sans représentation, de la « réalité ». Freud a identifié ce désir de.. ne pas désirer sous le vocable « pulsion de mort », dans mon souvenir. La théorie freudienne de la pulsion de mort me parle bien, à condition de comprendre que nous ne parlons pas de la mort dans ce phénomène, mais de la lassitude de penser, de désirer, et…de vivre. (Désirer, ce n’est pas jouir.)

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