Faut-il continuer ? Mes amis me disent qu’ils ont du mal à prendre du plaisir à lire ce que j’écris en ce moment… C’est qu’avec Badiou nous franchissons le seuil mathématique, allons, quoi donc… tant de formules et d’écritures symboliques… pour quoi ? Pour quels voyages ces symboles sont-ils un viatique ? Quand on cite les livres qui ont changé notre vie, la plupart du temps, on cite des œuvres littéraires et je ne suis pas en reste sur ce sujet, prompt à indiquer ce qu’ont fait sur moi les écrits de Rimbaud, « Les filles du feu », « L’éducation sentimentale », « La recherche du temps perdu » ou bien « Les lettres à un jeune poète », voire les « Elégies de Duino » mais je serais incomplet et infidèle à ma formation si je ne citais le volume de topologie générale de Bourbaki, le livre de Lambek et Scott sur la logique catégorielle d’ordre supérieur ou bien le difficile traité « sur la logique et la théorie de la science » de Jean Cavaillès… Comme Roubaud débarquant un jour de 1963 dans un amphi de ce qui ne s’appelait pas encore « Jussieu » mais « la Halle aux vins » et y découvrant émerveillé la mathématique moderne telle qu’exposée par un Dixmier ou un Godement, je reçus autrefois – deux ou trois années plus tard – la révélation de ma vie estudiantine grâce à la découverte des ordinaux transfinis. Eh bien justement, c’est des ordinaux transfinis que j’ai l’intention de vous parler. Qui ne connaît pas cela a tout intérêt à faire un effort pour le connaître parce qu’il s’agit là du SEUL discours profond portant sur l’infini, sur l’infini ? Que dis-je ? Sur LES infinis car il y en a… autant… qu’un infini. Et si Badiou en parle tant c’est parce qu’ils ouvrent la voie à une conception ontologique à couper le souffle, qui n’a rien à voir avec ce que pourrait produire une imagination de philosophe même débridée, qui serait dépourvue de tels outils.

Badiou et les mathématiques

Commençons donc.

1- des ensembles pour lesquels appartenance et inclusion se confondent

Comme dit en note du billet d’il y a deux semaines, Badiou considère les cas où appartenance et inclusion coïncident : ce sont les cas où les éléments présentés dans la situation en cours sont « naturellement » représentés. a est présenté et représenté dans une situation b si et seulement si a ∈ b et a ⊂ b. Le néophyte peut se dire que cela n’arrive jamais. En effet, dans les situations courantes, si on prend un ensemble fini quelconque E = {a, b, …, c}, on a a ∈ E, mais bien sûr, a n’est pas inclus dans E, c’est {a} qui l’est : {a} ⊂ E (ce qui me fait me poser la question de la manière dont Badiou envisage le rapport entre a et {a} : j’avais cru comprendre que le second était une idéalisation du premier, sa représentation au niveau de l’Etat, par exemple ; l’individu juridique – celui qui vote, est élu etc. – par rapport à l’individu concret, mais il ne semble pas que Badiou exploite cette possibilité). Pour que l’on ait a ∈ b et a ⊂ b, il faut, en quelque sorte, « le faire exprès »… autrement dit dès qu’on trouve une partie d’un ensemble, immédiatement l’ajouter comme élément à ce même ensemble. On obtient une dynamique particulière, que l’on observe dans la construction ensembliste classique de la notion de nombre (au sens de nombre entier naturel). La construction est connue (remonte-t-elle à Frege?). Partant de Ø, dont on sait qu’il existe par axiome (le nom propre de l’Être, comme dit Badiou), on construit {Ø}, qui lui, n’est pas vide ! (puisqu’il a un élément, le vide lui-même), or cet ensemble a la propriété souhaitée puisqu’on a bien sûr : Ø ∈ {Ø} et Ø ⊂ {Ø} (puisque Ø est toujours inclus). On a aussi {Ø}⊂ {Ø} (tout ensemble est inclus dans lui-même) mais on n’a pas {Ø}∈ {Ø} (si on parcourt l’ensemble {Ø} pour savoir si {Ø} en est élément, on ne le trouvera pas, puisque seul Ø en est élément!). Ainsi {Ø} donne l’exemple d’une situation où un multiple est présenté et représenté, il s’agit de Ø, mais où un autre multiple, qui est représenté, n’est pas « présenté »… Qu’à cela ne tienne, il n’y a qu’à le rajouter, ce qui est possible par l’axiome de la paire : on peut construire {Ø, {Ø}} pour lequel on a, cette fois : Ø ∈ {Ø, {Ø}}, Ø ⊂ {Ø, {Ø}}, {Ø}∈ {Ø, {Ø}} et {Ø}⊂ {Ø, {Ø}}. Mais la question se posera avec {Ø, {Ø}}… qu’on pourra alors rajouter, de façon à obtenir {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} et ainsi de suite ! Evidemment, on l’a compris, {Ø} est le Un, {Ø, {Ø}} est le Deux, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} est le Trois et ainsi de suite. Nous sommes, par cette procédure, engagés dans une progression infinie. C’est notre première rencontre avec l’Infini. De manière très intuitive et bien peu rigoureuse, on pourrait écrire :

{Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}} … } est l’Infini (et puis s’arrêter là) comme si les points de suspension suffisaient à créer une infinitude. Mais avant d’en arriver là, il faut passer par bien des étapes…

2- des objets « naturels »

Il est assez amusant (à mon goût!) que Badiou retienne comme caractéristique du naturel justement ce qui fait la propriété essentielle… des entiers naturels ! À savoir que l’on ait conjointement a ∈ b et a ⊂ b, ou, plutôt, que l’on ait a ∈ b ⇒ a ⊂ b (si a est présenté dans la situation b, alors il y est obligatoirement re-présenté). Il demande : « y a-t-il un concept pertinent de la nature dans la doctrine du multiple ? » (p. 145). Si on reprend certaines intuitions heidegériennes (ce dont Badiou ne se prive pas…), la nature se caractériserait par « la constance, le stable », le « se-tenir-là » : on verra plus tard qu’elle s’oppose à l’historique, domaine de l’instable, d’où l’idée que le « naturel » serait ce qui nomme l’équilibre de la structure et de sa méta-structure, là où présentation et représentation se mirent l’une dans l’autre. « Et quoi de plus stable que ce qui est, en tant que multiple, compté à sa place deux fois, par la situation et par son état ? » (p. 146). D’où cette idée, finalement, que « une situation est naturelle si tous les termes multiples qu’elle présente sont normaux, et si en outre, tous les multiples présentés par ses termes multiples sont également normaux ». ce qui se traduit par à la fois : si n ∈ N, alors n⊂ N et le fait que tout n’ tel que n’ ∈ N possède aussi cette propriété. Or ceci est justement la propriété des entiers ordinaux.

Heidegger soutient que l’être « este comme φυσις ». Nous dirons plutôt : l’être con-siste maximalement comme multiplicité naturelle, c’est-à-dire comme normalité homogène. Au non-voilement dont la proximité s’est perdue, nous substituons cet énoncé sans aura : la nature est ce qui de l’être est rigoureusement normal. (p. 147)

Intéressante « démonstration », certes, mais qui présume de la stabilité de l’être sous sa forme nature. L’être naturel est-il si stable que cela? Difficile d’éviter le doute (d’autant que Hegel rôde dans les parages(*)). Plus tard (notamment dans le tome 2 de l’Etre et l’événement qui porte pour titre : La logique des mondes, et aussi dans le Second manifeste pour la philosophie) Badiou opposera l’être et l’apparaître. L’être naturel (par exemple l’arbre devant moi) existe comme être fondé sur le vide, ce qui veut dire que si on fait abstraction de toutes ses qualités particulières, il ne restera de lui que du « tressage à partir de rien », alors que l’apparence, elle, c’est différent, elle résulte d’une mise en relation avec les autres multitudes qui l’entourent. Tout ce que nous éprouvons comme présence autour de nous vient de telles mises en relation (que l’on songe par exemple aux couleurs, si présentes et chatoyantes et qui pourtant, n’ont pas de réalité objective, ne sont que relations entre longueurs d’ondes, surfaces réfléchissantes, observateur et façonnage de l’esprit – voir ici).

3- rappel de la fondation sur le vide

Je voudrais ajouter une chose en passant : cette stabilité n’est pas seulement l’oeuvre de la propriété selon laquelle ce qui est présenté est immédiatement représenté (et toute multiplicité incluse l’est également) mais de cette autre propriété qui en résulte apparemment qui est que tous les multiples naturels sont engendrés à partir du seul multiple dont on a dit qu’il faisait l’objet d’un axiome d’existence absolue : le vide, autrement dit ils sont fondés (en un sens même très précis qui viendra à être explicité plus loin). Le débutant mathématicien ne fait pas attention au fait que lorsqu’il pose un ensemble E en écrivant par exemple E = {α, β, γ, …}, il ne sait pas ce que sont les α, β, γ, … dont il parle… Bien sûr, un usage naïf dira que lorsqu’on définit, dans une situation donnée, un ensemble par extension à partir de quelques individus : E = {pierre, marie, alain, jacques}, les élements sont bien connus : ce sont les individus clairement identifiables qui sont cités. L’usage naïf présuppose ainsi l’existence de ces individus comme s’ils étaient eux-mêmes des ensembles, mais des ensembles de quoi ? Allons-nous dire que pierre = {les deux jambes de pierre, la tête de pierre, la barbe de pierre, le tronc de pierre etc.} ? Peut-être, mais alors la question se reposera à propos de chacun de ces termes. L’idée que ces ensembles soient fondés est donc hasardeuse… (dépend pour le moins d’une théorie biologique, et même encore… qui décidera de l’âme de pierre ou de son sentiment d’abandon?). De fait, quand le mathématicien ordinaire posera E = {α, β, γ, …}, il considérera que l’on a arrêté la décomposition élémentielle aux α, β, γ, … donnés et qu’aller plus avant dans leur intérieur est sans issue : il ignore de quoi ils sont faits, dit autrement : le ce-dont-ils-sont-faits reste indéterminé. Ces « ensembles » ne sont pas vraiment fondés. Le possible de leur fondation se perd dans les sables. C’est l’idée que Badiou récupérera plus loin en disant qu’en eux-mêmes ils sont vides (vides de toutes déterminations). Il s’agit d’un vide étrange, pas le même que celui que nous avons identifié comme « le » vide, c’est un vide-absence, absence de détermination. Nous y reviendrons. Notons toutefois que les objets dits naturels n’ont pas de tels manques en eux puisqu’ils sont fondés, ce qui veut dire que pour eux, on peut toujours explorer ce dont ils sont faits, on finira toujours sur un ensemble dont on sait qu’il existe par un axiome posé dans la théorie. C’est là l’être en tant qu’être c’est-à-dire débarrassé des qualités sensibles, des apparences de l’être.

(Là est le platonisme de Badiou : idée que notre monde repose sur des structures ayant leur existence en soi).

4- de l’autre à l’Autre : il y a de l’infini

Si nous revenons maintenant à la théorie des ordinaux, nous constatons que pour construire la suite des entiers « naturels », nous avons appliqué constamment la même règle : pour un ordinal α déjà-là, on en obtient un nouveau en le remplaçant par l’ensemble qui consiste à ajouter à α, comme élément nouveau, α lui-même (par exemple, Deux s’obtient à partir de Un en ajoutant à {Ø} l’élément nouveau {Ø} d’où : {Ø, {Ø}}), ou, dit autrement, en termes de parties et d’union, on fait l’union de cet ensemble α avec {α} : α→α∪{α}. Il est possible de démontrer qu’il n’est pas possible qu’existe un ordinal entre les deux, α et α∪{α}. On peut en déduire que l’opération qui permet de passer de l’un à l’autre est l’opération de succession. α∪{α} est ainsi le successeur de α : α∪{α}=S(α). Cette opération est fascinante : son domaine apparaît comme intuitivement infini (sans fin), créant toujours de l’autre à partir du même ou… du même à partir de l’autre puisque tous les éléments de cette suite sont fondamentalement les mêmes, ayant même structure (seul le nombre change) ! Quelle étrange chose… Vient à l’idée de totaliser les éléments de cette succession, le total ainsi formé est-il bien l’ensemble de tous les ordinaux ? S’il l’est, il est un ordinal lui-même puisqu’il en possède les propriétés, d’où l’on conclurait alors qu’il s’appartient à lui-même (l’ensemble des ordinaux contient tous les ordinaux donc lui-même s’il est lui-même un ordinal!). Mais cela est interdit (l’écriture α∈α est interdite, on comprendra facilement pourquoi). Autrement dit, il n’y a pas d’ensemble de tous les ordinaux, il n’y a rien qui puisse être totalisé sous la forme de LA Nature (ou, comme dit Lacan à propos de LA femme, LA nature n’existe pas).

De la même manière, l‘ensemble de tous les ordinaux obtenus par opération de succession à partir de Ø (que nous nommerons désormais ordinaux finis) ne peut être un ordinal fini (c’est-à-dire, insistons, un multiple obtenu par opération de succession à partir de Ø) puisque sinon, là encore, il s’appartiendrait à lui-même. Si nous voulons qu’il soit quand même un ordinal… il faudra admettre des ordinaux non finis, autrement dit : l’infini. Ce qui signifie qu’à cet enchaînement du même et de l’autre, il faut… un Autre, et nous ne l’aurons que si nous posons l’infini comme existant. Mais cela résultera d’un axiome supplémentaire.

Si nous généralisons la construction que nous venons de faire en proclamant que les ordinaux(**) sont désormais tous les ensembles qui sont transitifs (b transitif s‘il est vrai que « si a ∈ b alors a ⊂ b ») et dont les éléments le sont aussi, on voit qu’il peut en exister de deux sortes : ceux qui proviennent par l’opération de successeur du Ø, et ceux qui n’en proviennent pas. Par exemple, l’ensemble de tous les ordinaux finis, s’il existe, ferait partie de ces derniers puisqu’il est absolument impossible de désigner, dans la construction, l’élément dont il serait le successeur ! On parlera en ce cas d’un ordinal limite. L’axiome supplémentaire dont nous parlions s’énonce donc aussi : il existe un ordinal limite. Cet ensemble que l’on pose comme existant est bien le lieu au sein duquel peut se faire l’opération de succession, autrement dit l’Autre que nous attendions. Un ordinal limite est donc un ordinal qui ne peut pas s’écrire comme le successeur d’un autre. On peut démontrer qu’étant donnée une propriété susceptible d’être vraie d’un ordinal, il existe toujours un ordinal minimal qui la possède, d’où il suit qu’existe un ordinal limite minimum, celui que l’on notera ω₀ (ou bien aussi ℵ₀ , voire tout simplement ℕ – l’ensemble des entiers naturels). C’est le premier infini, c’est-à-dire le premier ordinal qui ne procède pas d’un ordinal fini.

Nous voilà en conformité avec ce qu’exige l’ontologie.

Car, comme le dit Badiou dans sa méditation 13, jusque là, dans « l’âge métaphysique de la pensée », l’infini n’était que le nom de l’Etant suprême. Il n’était pas loin du fini, dans la mesure où il fallait bien instaurer une communication entre Dieu et les humains. En tout cas, l’idée qu’il pût exister plusieurs infinis distincts demeurait hors de portée. Comment imaginer une suite de « Dieux » successifs, organisée hiérarchiquement ? Ainsi, toute pensée ontologique qui ne se résignerait pas à une telle multitude retomberait dans la supposition d’un Etant suprême et de l’Etre comme finalement Un, ce qui était la thèse que dès le début nous voulions éviter ! Or, comme nous le verrons dans le prochain épisode, cette affirmation de l’infini, qui a conduit à poser la collection des ordinaux finis comme ensemble à part entière, va ouvrir la voie à une myriade d’infinis : le Paradis de Cantor.

Méditation : ces objets infinis existent-ils vraiment dans la Nature ? Il ne faudrait pas ici faire de confusion entre « Nature » (au sens de Heidegger et Badiou) et « monde physique » ou univers. L’univers est-il fini ou infini ? Ceci se discute encore, mais une chose est sûre, le monde physique n’est pas l’Être, il en est tout juste une région. Déjà Spinoza postulait l’Etre comme Infini, et ce n’était pas de l’univers qu’il parlait, mais bien de ce qui nous constitue et constitue notre monde, incluant les pensées, la Pensée. Ces objets infinis sont constructibles en pensée, cela suffit pour qu’ils lui appartiennent. Quel est le rapport entre Être et Pensée ? Pour Parménide, « être et pensée sont le même », même réalité vue sous deux aspects (Spinoza puis Hegel voyaient cela de la même façon), ou peut-être deux faces disposées sur un même ruban de Moebius : en suivant la pensée, on arrive nécessairement à l’être et réciproquement mais si on coupe arbitrairement un bout de ruban, les deux aspects seront bel et bien distincts voire opposés.

(*) plus loin (méditation 15), Badiou se confronte à Hegel, ce qu’il critique chez le philosophe allemand, c’est l’absence de différence qu’il ferait entre autre et Autre. Comme nous le voyons dans ce billet, abolir cette distinction revient à penser que l’infini s’engendre tout seul à partir de la progression des ordinaux finis. Or, comme l’ont bien vu les mathématiciens du XXème siècle, il y faut nécessairement un axiome. D’où chez Hegel le rôle du devenir : comment résoudre la contradiction entre l’un et l’autre – ce qui est et ce qui n’est pas – sans introduire le devenir (le « ce qui n’est pas » est en vrai « ce qui n’est pas encore »), dès lors l’Histoire est présente au coeur de l’Etre et même les êtres « naturels » sont historiques. Badiou rompt avec cette perspective et installe la Nature en dehors de l’Histoire, ce qui n’est pas, peut-être, sans poser de problèmes quand on se place d’un point de vue empirique…

(**) mes excuses aux mathématiciens, pour aller plus vite, j’ai sauté l’étape du « bon ordre »… Si nous poursuivons plus avant, nous serons bien obligés de l’introduire, mais pour l’heure, je l’ignore.

voit ici pour un texte plus détaillé