Il y a longtemps que nous n’avons pas parlé philosophie… Par les temps qui courent… c’est un peu comme si l’on parlait du sexe des anges, on va nous demander si nous n’avons rien de mieux à faire, par exemple spéculer sur les divisions sociologiques de notre pays, les chances d’une révolution ou l’émergence de nouvelles classes sociales et, partant, d’une nouvelle forme de la lutte de classes… Mais je laisse cela à de plus compétents que moi sur ces sujets. Il me semble de toutes manières que pour trancher ce genre de question, il faudrait en avoir tranché beaucoup d’autres auparavant. Par exemple celle-ci : comment des individualités diverses peuvent-elles s’agglomérer en collectifs viables, c’est-à-dire susceptibles de durer un certain temps (avant que d’autres collectifs ne se forment et les remplacent) ? La notion de peuple a-t-elle un fondement ? La couleur d’un gilet suffit-elle à fédérer un groupe ? On voit tout de suite que ces questions sont d’ordre ontologique, qu’elles sont même concernées par une théorie en apparence éloignée et quelque peu rébarbative : la théorie des ensembles. C’est pour cela qu’on peut être amené à regarder du côté d’Alain Badiou.

Le peuple en colère

Lire Badiou peut paraître difficile, il y faut, outre quelques connaissances philosophiques un bon savoir des mathématiques, et particulièrement de cette fameuse théorie des ensembles, l’invention semble-t-il de Georg Cantor (1845 – 1918) (je dis « semble-t-il » parce qu’une invention n’est jamais l’oeuvre d’un seul homme et qu’en l’occurrence, il faudrait citer des précurseurs comme Richard Dedekind (1831 – 1916) et d’autres…). Le troisième tome de « L’être et l’événement » vient de paraître, et le premier tome en est à sa première édition de poche (collection Points n° 857). Avant le troisième, il est conseillé, évidemment, de lire le premier et de revenir à ce qui est proposé dès 1988 : rien moins que de considérer les mathématiques comme la base du discours sur l’ontologie. Autant le dire : j’en aime l’idée. Les spéculations de l’auteur sur la politique, son attachement, plus de cinquante ans après, à la Révolution Culturelle peuvent bien me laisser perplexe, il n’empêche que son approche de l’ontologie m’intéresse. Car il va sans dire que le discours mathématique parle de quelque chose. De quoi au juste ? J’ai pensé, modestement, qu’il parlait de tout langage, étant lui-même langage capable de parler de lui-même. Qu’il pût parler de l’être m’a laissé intimidé. Badiou n’a évidemment pas de ces timidités…

Alors quoi ? Le lecteur peu au fait de ces choses doit savoir que l’ontologie se donne comme science de l’être en tant qu’être. Les mathématiques, elles, à mon avis, ne peuvent pas être définies. Activité en apparence bizarre qui est spécifique de l’humain, qui peut-être s’origine de l’âge grec, bien que l’on ait fait des mathématiques dans la Haute Egypte, à Babylone et dans la Chine ancienne. Au départ liées à des histoires d’arpentage de champs, de partage de cultures mais aussi et peut-être surtout de musique (comment couper une corde de façon à ce qu’elle émette un son qui soit juste au milieu de la gamme… problème en quoi on situe l’émergence pour la première fois de l’irrationnalité) mais on ne me fera pas croire qu’on a fait des mathématiques « pour » ériger un cadastre ou couper une corde en deux, on se serait contenté de procédures approximatives, mais de là à spéculer… à se poser des questions sur l’irrationnel, le continu, l’infini… Il faut qu’il y ait à la base une motivation profonde, philosophique et donc ontologique comme le dit Badiou.

Qu’est-ce que l’être ?
L’Être est-il Un, d’abord ? A première vue, on pourrait le penser, et en ce cas on pourrait se replier sur une théologie, si l’Être est Un, Il est Dieu. Point final. Or, va tenter de montrer notre philosophe de la rue d’Ulm, le Un n’est pas. Il n’est d’accès à l’être que lorsque celui-ci se présente à nous, or rien ne se présente comme Un, tout ce qui se présente est multiple. Si nous condamnions au non-être ce qui n’est pas un (donc est multiple), nous nierions l’être de la présentation. Mais, toutefois, il n’échappe à personne qu’avouer que la présentation est un multiple, c’est dire… qu’elle est un multiple, donc Un. Il s’agit là de quelque chose de très difficile : on se trouve ballotté entre le Un et le Multiple sans jamais pouvoir s’arrêter (s’il n’y a pas de un, il y a le multiple mais le multiple est un, et s’il n’y a pas de multiple, tout est un, ce qui contredit notre expérience, à moins que tous les uns se regroupent dans un multiple auquel cas il y aurait aussi des multiples!). On ne peut sortir de là qu’en disant que le Un n’est pas, définitivement. Il n’existerait alors qu’à titre d’opération. Toute situation (qui est une multiplicité présentée) admettrait un opérateur de « compte-pour-un » qui lui serait propre et c’est ce que l’on appellerait une structure. Mais le Un ne préexisterait pas, comme « domaine » par exemple.

Georg Cantor

Or, un multiple est un ensemble et l’on sait bien ce que la mathématique moderne (moderne depuis le sursaut de rigueur qu’ont voulu lui donner les grands mathématiciens du XIXème siècle puis du XXème) doit à cette notion. Mais Cantor, le génial inventeur, démarre avec une « définition » pour le moins boiteuse : « par ensemble, on entend un groupement en un tout d’objets bien distincts de notre intuition ou de notre pensée ». Boiteuse parce qu’on ne sait pas au préalable ce qu’est « un objet », ni ce qu’est « un tout », encore moins une « intuition »… Mots utiles peut-être en ce qu’ils produisent une sorte d’échafaudage de la pensée, mais qu’il faudra bien vite jeter. Et du reste, la faille ne tarde pas à se faire sentir. Cette théorie « naïve » des ensembles est contradictoire. On le sait par la fameuse question de « l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes »…. Soit p cet ensemble, si p appartient à cet ensemble, alors il ne satisfait pas à la propriété de ne pas s’appartenir à soi-même, donc il ne lui appartient pas et s’il ne lui appartient pas alors il satisfait la propriété et il lui appartient ! Les mathématiciens en concluent qu’il n’est pas un ensemble et que donc, toute « collection » n’est pas un ensemble… Il est « trop gros », disent-ils… en tout cas, c’est l’exemple même d’une multiplicité qui est en excès par rapport au langage qui devrait la nommer. L’exemple même d’une multiplicité qui ne saurait se réduire à un Un. Le lecteur intéressé par la question du politique peut tout de suite tenter de faire l’analogie avec la notion de peuple : qui peut croire qu’on a cerné le peuple, tout le peuple, jusqu’à en faire un Un (« Le peuple »), sauf (à un moment très dangereux de l’histoire) à tenter de le faire exister de force, mais alors il coïncide avec un Etre qui prétend l’incarner : le Führer, le Père des peuples, le lider maximo… Mélenchon qui ose dire « Je suis le Peuple ».

Cette contradiction met à mal l’édifice cantorien, en tout cas la prétention à définir un ensemble, à dire « un ensemble, c’est…. etc. ». Désormais, si l’on veut maintenir la notion d’ensemble, il faudra que l’on accepte de ne jamais en donner une définition explicite. Une définition implicite, alors ? Qu’est-ce qu’une telle « définition » (qui n’en est pas vraiment une, de fait) ? Les mathématiciens depuis longtemps savent contourner la difficulté grâce à la notion d’axiomatique. Pour les nombres entiers par exemple… qui se hasarderait à dire qu’un nombre est tel ou tel objet (caractérisé par une propriété quelconque) ? Il faudrait remonter à Pythagore pour avoir une telle caractérisation, mais totalement insuffisante (les petits nombres encore… mais dès qu’on envisage les grands nombres, les très grands nombres?). Et c’est Giuseppe Peano, on le sait, qui au début du Xxième siècle, donne une axiomatique des nombres. Pour les ensembles, il en va de même. Travail accompli par Zermelo, Fraenkel et Bernays (se souvenir que la femme de Freud s’appelait Martha Bernays).

Qu’est-ce qu’une loi dont les objets sont implicites ? Une prescription qui ne nomme pas – dans son opération même – cela seul à quoi elle tolère de s’appliquer ? C’est évidemment un système d’axiomes. Une présentation axiomatique consiste en effet, à partir de termes non définis, à prescrire la règle de leur maniement (p.38)

Alain Badiou

A quoi s’oppose Badiou ? A une « ontologie de la Présence ». Pour lui, « il n’y a que des situations » (et oui, Badiou est situationniste…!), autrement dit des multiplicités structurées, toujours au départ inconsistantes (en ce sens qu’encore une fois jamais le Un n’est donné). L’ontologie doit être elle-même une situation, autrement dit l’être est présent dans toute situation, mais non structuré, non Un. Badiou dit : si le Un n’est pas, l’Etre ne peut pas être Un. Or, les ontologies philosophiques classiques (Platon, Heidegger) posent que l’être est un, donc au-delà de toute situation, de toute expérience, un ineffable que seule la Poésie pourrait approcher. Badiou n’est pas sur cette ligne, il aime la poésie mais il réfute une ontologie poétique en lui préférant une ontologie mathématique. La mathématique aurait-elle donc plus à nous dire que la poésie ? Elle est certes plus rigoureuse… mais surtout, elle prend au sérieux l’idée qu’il n’y a au départ de toutes les compositions conduisant à des multiplicités que des situations qui sont des multiplicités inconsistantes, sans quoi nous contredirions l’idée de départ selon laquelle tout ce qui est Un vient « après coup » (après application d’une opération de « compte-pour-un »). Il ne peut donc y avoir au fondement de l’ontologie que du « rien », c’est-à-dire quelque chose d’inconsistant (puisque le consistant ne vient qu’après coup). Or, justement, ce dont s’originent les schèmes ensemblistes pour fabriquer des ensembles c’est bien… du vide (et l’ensemble vide doit bien son existence à une inconsistance : on peut le définir comme ensemble des x qui ne sont pas x) . A l’ontologie poétique qui pose dès le départ une plénitude de l’Etre, répond ainsi dans l’ontologie mathématique la thèse selon laquelle au départ… l’Etre est vide. C’est ce que Badiou appelle la rigueur du soustractif (opposée à la tentation de la présence) « où l’être n’est dit que d’être insupposable pour toute présence, et pour toute expérience ».

Cette thèse est fondamentale, c’est en elle que réside le « matérialisme » philosophique qui est celui de Badiou, qui consiste dans le rejet du Un sous n’importe quelle forme qui donnerait nécessairement plus tard au plan métaphysique la notion d’un Dieu unique et au plan politique celle du Tyran. Il faut partir de l’idée que l’Etre est vide, ou, si l’on veut, formulé autrement par Badiou lui-même : « le vide est le nom propre de l’Être ».

Sur le plan mathématique, cela se traduit par le fait que tous les axiomes de la théorie partent de la préexistence supposée de multiplicités déjà là (ainsi l’axiome de sélection dit qu’à tout prédicat unaire correspond bien un ensemble, mais un ensemble qui est une partie d’un ensemble déjà là, on ne peut faire l’économie de ce dernier, et c’est ce qui permet d’éviter d’ailleurs le paradoxe) sauf un : celui qui pose l’existence du vide. En somme, le vide, comme dit Badiou, est le point (le seul) où la théorie « se suture à l’Etre ».

Je viens de résumer (sans doute maladroitement) seulement les cinq premiers chapitres d’un livre qui en comporte trente-six (tous appelés « méditation») et qui continue sur des développements ardus de la théorie des ensembles. Entre autres choses, Badiou attache une grande importance à ce qui apparaît comme une autre aporie de la théorie, située sur un autre plan que la contradiction toute bête de l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes, aporie selon laquelle il n’est pas possible au sein de la théorie de décider de la véracité d’une thèse qui la concerne au premier chef, connue sous le nom d’hypothèse du continu et qui peut se formuler ainsi : soit l’ensemble de tous les sous-ensembles de l’ensemble des entiers, son cardinal (nombre d’éléments) est strictement plus grand que celui de l’ensemble des entiers mais ce nombre infini lui-même est-il le simple successeur de l’infini des entiers (selon la théorie des ordinaux) ou bien y a-t-il un successeur intercalé entre les deux ? Pour montrer que ce problème était indécidable, Paul Cohen (1963) a dû inventer à son tour une théorie (dite du « forçage ») et des concepts d‘indiscernable et de générique que Badiou tentera d’investir dans le champ de sa réflexion ontologique. Mais ceci est une autre histoire….

Paul Cohen