Logique de la logique – IV

Il y a un lien entre les trois articles publiés récemment (+ celui-ci!), « Logique de la logique » et ceux que j’écrirai bientôt. Il passe, on le comprendra, par les écrits récents de Bernard Stiegler et du groupe autour de lui, Internation, ou « Association des amis de la génération Thunberg ». Il y a un lien aussi avec les goûts littéraires que j’ai déjà exprimés, passant par Jean-Marie Gustave Le Clézio que j’admire depuis mon jeune âge (je devais avoir 16 ou 17 ans) et dont je me réjouis de voir l’engagement actuel, qui le mène à dire que Greta Thunberg est la personnalité marquante du siècle.

J.M.G. Le Clézio: Greta Thunberg est la figure marquante de ce temps

J’ai expliqué dans le billet précédent (« logique de la logique – III ») en quoi la locativité était importante, car elle permettait de reconstruire la logique sur une autre base que sur des entités fictives (le « vrai », le « faux », le statut « individuel » des objets…), dont le mauvais usage conduisait inexorablement à des apories (rechercher la « vérité » des assertions dans une mise en abyme infinie renvoyant de méta-langage en méta-langage, admettre qu’un univers ne peut être que non vide, définir l’égalité entre deux objets alors qu’il est criant qu’ils ne peuvent avoir toutes leurs propriétés en commun, être incapable de déduire une conclusion d’un raisonnement simple parce qu’on ne voit pas qu’il y a une règle de coupure à appliquer etc.).

Je m’aperçois que j’ai peu développé l’aspect dynamique des choses. Erreur. Dans un mail privé, Jean-Yves Girard me dit que « la grande bifurcation dans [s]on travail tardif, c’est la découverte de l’usine, seule source possible de certitudes (raisonnables, pas absolues) : des tests permettent d’éviter les apories inhérentes à l’existentialisme ». Dont acte. Je crois qu’il faut comprendre ici que l’on ne peut pas tout rabattre sur l’usage local. L’aporie, en l’occurrence, serait ici celle de la volonté de tout produire localement, comme il vient à en être discuté dans les cercles écologistes… Une amie me racontait récemment l’expérience de ces jeunes paysans qui voulaient voir jusqu’où on pouvait aller dans le produire local et dans l’émission de zéro carbone, de fait il y avait insuffisance pour nourrir tout le monde et empêchement de distribuer toute sa production (manque de moyens non polluants pour déplacer la production au plus près des consommateurs). Ce que Girard entend par « existentialisme », c’est l’idée que l’on pourrait toujours tout recréer à partir de rien dans le temps présent, alors que nous utilisons toujours autre chose, des leviers par exemple, ou bien d’autres outils, dont nous savons par expérience qu’ils sont fiables et fabriqués pour l’usage que nous voulons leur donner. D’où l’opposition entre « usine » et « usage », que l’on trouve déjà formulée dans « Le fantôme de la transparence ».

L’usine et l’usage

La philosophie a souvent pratiqué des distinctions entre les jugements. Kant opposait l’analytique au synthétique (et, au-delà, le synthétique a priori au synthétique a posteriori), la philosophie du langage oppose volontiers le descriptif au performatif, mais aussi l’implicite à l’explicite. Girard, dans ses travaux antérieurs, a souvent opposé le locatif au spirituel. Ces diverses oppositions recèlent certes des nuances mais ont toutes le point commun de référer à des modes de connaissance distincts. L’affirmation selon laquelle un homme célibataire n’est pas marié relève d’une définition (analycité), il ne faut aucun effort mental particulier pour l’admettre, à la différence d’une autre qui dirait par exemple que les carrés multiples de 2 sont tous des multiples de 4 (synthétique). De la même manière, une table de logarithmes nous donne un explicite: la liste de tous les logarithmes des nombres entiers de 1 à 10 000 (au moins) alors qu’une calculette recèle en elle le petit programme qui, lorsqu’on l’active, nous donne la réponse à notre question « quel est le logarithme de x ? » (implicite). « Ouvre la porte ! » réfère à un ordre qui, normalement, déclenche une action, alors que « la porte est ouverte » est juste un constat. La ludique mettait l’accent sur l’opposition locatif / spirituel. N’ayant pas de formules parce que les ayant remplacées par des ensembles de lieux, elle ne permettait de travailler, en toute rigueur, que sur des schémas (desseins) fortement localisés. On n’avait pas a priori de possibilité de tirer de la ludique des formes générales s’appliquant à d’autres situations que l’actuelle, sauf à introduire des opérateurs de délocalisation ou un dessein particulier appelé Fax qui, par interaction avec un dessein quelconque, avait la faculté de déplacer ce dernier, de le recopier en un ailleurs locatif. C’est de cette manière que Girard éliminait le recours à la terrible notion d’occurrence (occurrence d’un symbole dans une formule… genre de définition prenant trois pages dans un manuel élémentaire de logique formelle en guise de préambule aux choses vraiment intéressantes!) : au lieu de partir d’un symbole abstrait et de dire que c’était bien le même qui occurrait en divers endroits de la formule (ce qui est une sorte d’acte de foi), on préférait partir de l’endroit, du lieu, et dupliquer la marque (avec un indice différent) là où on souhaitait qu’elle advienne… En délocalisant un dessein, on en atteignait une forme en quelque sorte « spirituelle » (débarrassée des contingences liées à une situation donnée). Dans la nouvelle mouture, cette différence est partiellement conservée : on parle de points et de liens entre ces points, ce qui n’est guère différent que de parler de lieux, mais on simplifie l’approche en opposant désormais non plus le locatif au spirituel mais… l’usine à l’usage ! Le mot « usine » n’est pas très beau, il n’a pas très bonne presse, on a tôt fait de dire : « une vraie usine » pour qualifier un ensemble trop grand, où les relations échappent à la compréhension immédiate (voire même « une vraie usine à gaz »), Girard l’utilise « pour la rime » (ici les deux premiers sons). On pourrait aussi choisir le mot d’atelier, plus sympathique.

usine…

L’usine, c’est là où l’on teste les objets avant leur mise en circulation, c’est donc très locatif et cela se fait dans un certain format. Par exemple tel modèle de voiture est fait pour rouler à l’essence, au gas-oil ou à l’électricité, pour ne pas dépasser telle vitesse etc. (c’est le format) et en fonction de cela, on appliquera des tests (robustesse, consommation etc.) à un exemplaire du modèle dans les locaux de l’entreprise (et on trichera éventuellement sur les chiffres). L’acheteur acceptera le format et fera confiance aux tests (le pauvre!). Après quoi il pourra partir avec le véhicule et en faire ce qu’il voudra, mais en ayant été informé de ses performances : c’est l’usage, qui n’est plus très locatif (ni très spirituel non plus, d’ailleurs!). On peut transposer cela aux objets de la logique (desseins, preuves, comportements) : nous avons déjà fait connaissance avec les tests, et le montage locatif qui aboutit à faire passer à un dessein certains tests avant qu’on le qualifie de « valide » correspond exactement à l’usine. Ce qu’on tirera de là, c’est notre usage normal (et normé!) des lois dérivées.

La dynamique des preuves

La chose importante que je n’ai pas dite dans les « chapitres » précédents est que la machinerie logique ne fonctionne (pour produire des théorèmes, des jugements…) que si elle est mise en action : c’est un des rôles de l’usage. Par exemple, afin de reprendre la version lewis-carrollienne d’Achille et la Tortue, la prolifération de formules intermédiaires se réduit à néant dès que l’on réalise que l’obtention d’une conclusion repose (uniquement) sur une interaction entre deux formules. Supposons que j’aie A et que vous ayez A => B, alors si nous nous mettons ensemble, mon A en position positive (je peux écrire |- A pour « j’asserte A » et j’admettrai alors que ce qui est à droite de « |- » est positif, ce qui est à gauche négatif) vient immédiatement neutraliser votre A en position négative (car on peut écrire aussi A |- B au lieu de |- A => B) et il ne reste plus que B en position positive (« |- B »). Cette action est la mise en application de la règle dite de coupure (formulée pour la première fois par Gentzen dans son calcul des séquents de 1934). Evidemment cette machinerie n’est pas interne au langage (comme le disent les logiciens usuels) puisque le symbole « |- » ne figure pas dans celui-ci.

Le coup de génie de Gentzen fut de démontrer qu’en réalité… cette règle de coupure n’est pas indispensable. Dans son calcul des séquents (que je n’expose évidemment pas ici, qu’on sache seulement que cela ressemble à des clauses Prolog), il est possible de démontrer une formule valide en ne se servant que des règles d’introduction à droite et à gauche des connecteurs et quantificateurs usuels, et pas de la règle de coupure. Alors, pourquoi cette règle ? Eh bien justement parce qu’elle permet de faire interagir des preuves, de les transformer, de faire des raccourcis etc. Par exemple, supposons que j’aie une preuve π de T et une preuve π’ de T => T’, alors je vais pouvoir brancher l’une avec l’autre de manière à obtenir une preuve de T’ : j’utiliserai pour ce faire la règle de coupure (entre les deux occurrences de T) et qui plus est : un algorithme me permettra de supprimer l’occurrence de cette règle dans la preuve de manière à obtenir π’’, une toute nouvelle preuve de T’… qui, elle, n’utilise pas la coupure et aurait pu être obtenue « directement », mais mon branchement et ma suppression de la coupure m’ont rendu la chose beaucoup plus facile. Peut-être avais-je dans la manche cette preuve de T, en la réutilisant, je me dispensais du travail de la refaire dans un nouveau contexte.

Je crois qu’en rappelant ceci, on se met tout à fait dans la position de comprendre ce qu’est l’usage et ce qu’est l’usine. L’usine produit des preuves toutes faites (elles ont été « testées ») et l’usage les branche pour en obtenir de nouvelles. On pourrait tout faire à l’usine, c’est-à-dire en locatif, mais cela n’aurait guère de sens… et tout faire « en usage » demanderait trop de temps, il faudrait prendre en charge soi-même les tests, fabriquer ses outils avant de s’en servir (ce qui n’est pourtant pas interdit, après tout, certains le font, et c’est très respectable).

Interaction: les joueurs de cartes de Cézanne

Vers une autre perspective sur le langage

Cette interaction avait été reprise en ludique où la règle de coupure y était en quelque sorte généralisée : il n’y avait pas de formulation de cette règle proprement dite mais l’idée que deux dessins pouvaient se brancher l’un à l’autre au moyen de leurs loci positifs et négatifs (ce qui arrive dans le dialogue quand chaque locuteur s’applique à répondre aux attentes de son vis-à-vis, le locus négatif traduisant une attente et le locus positif une action), après quoi, comme dans l’élimination des coupures, on neutralisait les pôles positifs et les pôles négatifs afin d’obtenir un dessin résultant (qui était parfois un dessin très particulier, quasi vide). On parlait, dans ce deuxième temps, de normalisation plutôt que d’élimination des coupures. C’était une opération très féconde du point de vue du langage, car on pouvait associer aux étapes de la normalisation des procédures d’unification qui permettaient de résoudre les mille et un sens non explicités dans un dialogue, comme par exemple la référence des énonciations non-phrastiques (les « oui », les « peut-être », les « humms », les « pourquoi » et les comment »…). Répondre par « oui » à une question, cela permet de ne pas reprendre l’intégralité du texte de la question à la forme affirmative, de la même façon qu’en utilisant une coupure on ne refait pas la totalité d’une démonstration, et quand on « normalise » (élimine la coupure) le contenu affirmatif de la question vient tout naturellement prendre sa place au lieu du « oui ». Idem évidemment pour les « non » ou les « peut-être », et cela conduit à voir qu’ils ne sont pas fondamentalement différents des « maintenant » et des « ici » qui parsèment notre discours, et qui sont d’autres manières d’éviter de dire explicitement le jour et l’heure et le lieu… On remarque ainsi que notre dire est plié, plein de « contractions » et de replis, que seule une procédure de normalisation peut étaler, déplier, autrement dit expliciter. Une théorie du langage construite sur ces bases évite les nombreuses apories de la discipline dite « sémantique formelle », apories inévitables puisque cette discipline repose justement sur… la logique usuelle (valeurs de vérité, « modèles » etc.). Elle serait plus proche de l’usage poétique (poïétique?) que nous faisons de la langue en ceci qu’elle serait bien davantage basée sur ce qu’on fait avec la langue (bien d’autres choses que soi-disant « décrire la réalité ») que sur le supposé rapport de celle-ci avec la réalité (voir ici les dernières productions de François Rastier, portant notamment sur le « second Saussure » – qui n’avait rien à voir avec le premier).

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2 commentaires pour Logique de la logique – IV

  1. Christian Retoré dit :

    Excellent commentaire, mais la encore n’y a t il pas davantage de reflexion philosophique sur la logique dans le commentaire que dans le discours original? Une chose importante est de comprendre que Girard voit la logique à travers le prisme des preuves formelles et de l’élimination des coupures (et moins aujourd’hui dans le lien entre complexité logique, preuves de normalisation et ordinaux – travaux qui lui on valu sa médaille d’argent du CNRS à 35 ans) . C’est fort intéressant, et il a obtenu des résultats absolument remarquables qui méritent toute notre admiration et qui en tout cas ont toute la mienne (conjecture de Takeuti cad normalisation avec les candidats de réductibilité des logiques d’ordre supérieur, un résultats plus léger, l’ incohérence des types dépendants première version (j’en retiens avec les types dépendants on n’est pas loin de l’incohérence), forme normale des ordinaux, espaces cohérents 1986 qui permettent d’interpréter les preuves du second ordre). Ensuite vient la logique linéaire qui permet de modéliser finement a beta réduction (preuve de JJLévy de ‘l’optimalité de l’évaluation Lamping qui ‘n’aurait pas été possible sans la logique linéaire), et uen très jolie choses qui malheureusement ne marche bien que pour un fragment: les réseaux de démonstrations qui capturent mieux l’essence des preuves. Ensuite ses réflexion visent à englober la logique au sens usuel dans cette vision éliminations coupures, ce qui conduit à des logiques qui parlent davantage de l’évaluation d’un programme informatique, notamment en termes de ressources, plus que du raisonnement commun. On glisse alors vers des analogies fascinantes parfois fructueuses, parfois fumeuses. Et j’apprécie que ses exposés, donnent envie à beaucoup de gens de s’intéresser à la logique, à un certain nombre d’entre eux de faire de la logique, et suscitent la polémique. C’est un peu le Raoult de la logique! Très compétent mais aujourd’hui davantage versé dans le discours sur la logique que dans la logique elle-même, dont je toute qu’elle puisse, surtout avec la notion e preuve formelle, parler de tout. Dans ses travaux récents c’est ce retour en force de l’arithmétique définissable au second ordre qui m’a impressionné: je pense que la logique peut parler d’arithmétique même si on sait depuis Gödel que ce sera restreint et qu’elle ne pourra ba parler finement de toutes les mathématiques. Mais la logique pourra t elle parler d’une scène de ménage, de commander dans un restaurant en discutant avec le serveur, d’analyser un débat politique? Certains aimeraient, mais pour ma part je crains que cela se fasse au détriment de la beauté et de la justesse mathématiques.

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    • alainlecomte dit :

      Il ne s’agit pas de convoquer la logique pour dire quelque chose des scènes de ménage, mais de considérer qu’il y a un soubassement commun à la logique et aux scènes de ménage, peut-être ce que les Grecs appelaient le Logos, tout simplement. la ludique en un sens était une esquisse de ce Logos car elle n’était pas de la logique, mais un terrain préparatoire à la logique. Girard Raoult??? je en crois pas… il a d’ailleurs dans sa dernière conférence traité Raoult plus ou moins d’escroc, ce n’est pas parce qu’on tient des propos provocants qu’on est un génie…

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