Si j’ose encore un peu continuer sur ma lancée, essayant d’aller plus au fond dans la démarche girardienne de reconstruction de la logique, je vais me sentir obligé d’introduire quelques détails techniques. Je rappelle d’abord ici que si la logique nous intéresse ce n’est pas en tant que recherche d’une clôture, sorte de terminaison de la méthode scientifique et de la raison comme ont pu le donner à penser aux grandes époques du positivisme logique (début du XXème siècle) les Hilbert, Russell ou Tarski. Pas de « solution finale » ici, comme le répète souvent Jean-Yves Girard, c’est-à-dire de ce genre de solution dont on sait trop bien l’utilisation faite au cours de l’histoire par les pires idéologies totalitaires. Pas de « transparence » non plus, dont ce même Girard a bâti la figure du fantôme dans un de ses livres récents… Cela me renvoie à moi-même, à l’époque où, jeune idéaliste se croyant marxiste, j’imaginais que tout discours pouvait livrer sa vérité à coup d’analyses, voire même… « d’analyse automatique » (!). L’idéal frégéen (d’ailleurs repris à Leibniz) consistait en la croyance qu’il pouvait exister une langue parfaite telle qu’une fois nos paroles retranscrites en elle on en verrait immédiatement le sens… une sorte de sérum de vérité en somme. Mais il n’en va pas ainsi… sous nos paroles surgissent toujours d’autres paroles, et jamais n’apparaît un socle qui donnerait enfin la clôture de toutes choses dites. Pourtant il demeure des lignes de force, des tendances, certains discours sont plus crédibles que d’autres, certaines convergences apparaissent entre des dires distincts, des dialogues se forment. On pensera peut-être ici aux dialogues socratiques qui, depuis deux mille cinq cents ans, continuent de susciter notre réflexion à coups d’arguments et de contre-arguments. Un peu comme si l’espace de nos dires était structuré et que nous cherchions à en connaître la géométrie de la même façon que nous avons voulu depuis l’aube de la réflexion explorer et théoriser celle de l’espace environnant. La Théorie de la Relativité générale s’appuie sur l’idée que la force de gravitation est un effet de la courbure (géométrique) de l’espace. La logique serait peut-être aussi l’effet d’une courbure, mais de l’espace de nos dires. Vue comme cela, elle ne serait pas une norme arbitraire, comme semblent le dire beaucoup de philosophes, dont l’Ange Scalpel déjà rencontré. En tout cas, elle ne serait pas une transcendance qui nous imposerait un cadre de pensée définitif, juste un outil parfois, une commodité nous permettant de passer d’une pensée à une autre.

Dialogues et jeux infinis

A partir de cette façon de voir, on peut toujours prendre pour objet de réflexion un bloc d’argumentation, une tentative de preuve par exemple dont on ne sait pas a priori si elle va aboutir, qui va devoir affronter des objections, autrement dit des recherches de contre-preuves, d’oppositions à la thèse avancée. Dans la version antérieure des travaux de Girard, cela apparaissait dans l’entreprise de la ludique (baptisée ainsi parce qu’il y avait derrière une idée de jeu, un peu comme dans la logique dialogique, les règles arbitraires en moins). Preuves et contre-preuves s’opposaient. Avant de savoir si l’on avait l’une ou l’autre, on parlait juste de desseins ou de dessins, jeu de mots créé pour faire comprendre qu’à la fois on avait sous les yeux une entité géométrique (dessin) et une sorte de stratégie (dessein) – de fait, nous savons qu’étymologiquement les deux mots sont liés – Un dessin était une manière d’avancer dans le dialogue, de disposer ses pions en tenant compte des réactions attendues du partenaire, et on parvenait dans certains cas à une situation de convergence : les deux partenaires s’entendent pour dire que le dialogue peut se terminer, soit parce que l’un des deux a obtenu tout ce qu’il voulait savoir de la part de son partenaire, soit parce qu’il ne peut plus décemment continuer, ayant fait le tour de tous les arguments disponibles qu’il puisse opposer à l’autre. C’est ainsi que, dans une situation idéale, tout dialogue devrait s’achever… ! De fait, il est rare que les choses se passent ainsi… et, très souvent, le jeu est sans fin. Un spécialiste de l’argumentation et de la rhétorique, Marc Angenot, disait même que l’on est bien en peine de trouver au travers de l’histoire, une polémique qui serait définitivement close (les débats philosophiques par exemple, que l’on croit achevés à un moment, finissent presque toujours par redémarrer), d’où le fait que souvent… les dessins soient des figures infinies, que l’on ne converge jamais et que l’on soit dans cette situation affreuse où l’on part dans un problème sans avoir jamais l’assurance que la solution sera trouvée un jour et qu’à chaque instant nous soyons pris par l’angoisse : faut-il attendre encore un peu ou bien est-ce peine perdue ? Peut-être est-ce cela qui a conduit Girard à renoncer à la ludique. Après tout, quand on fait de la logique d’un point de vue mathématique, on veut que ça serve à résoudre des problèmes, à tester la rigueur d’une démonstration etc. (et pas forcément à nous renseigner sur l’état d’avancement de notre « analyse », ainsi que le voudraient peut-être les psychanalystes !).

Du côté de l’Autre et du négatif (Hegel)

Imaginons encore que nous soyons dans un « bon » cas, un cas où « ça converge »… Bien sûr, dans une situation donnée, face à une formule que l’on avance et souhaite démontrer, il n’y a pas qu’un seul dessin possible, il y en a plusieurs. Certains peuvent être « gagnants » et d’autres non. Les dessins « gagnants » sont ceux qui conduisent le partenaire à concéder qu’il n’a plus d’arguments à opposer, ou plus de questions nouvelles à poser. Les dessins des deux dialoguants s’affrontent ainsi, mais pas toujours sous l’aspect d’un combat, cela peut être aussi celui d’une recherche d’entente, tous les jeux ne sont pas des duels, certains sont coopératifs, certains n’ont pas d’autres buts que de mettre en commun des expériences et des savoirs. Là apparaît tout l’intérêt de la « ludique », pas assez exploré à mon avis…

La faiblesse réside en ce que, bien entendu, le fait qu’un dessin soit gagnant n’est pas une garantie pour qu’il soit une « preuve » : il se peut que le partenaire n’ait pas été le meilleur possible, qu’il se soit laissé dominer ou satisfaire un peu trop facilement. Les dessins gagnants ne sont pas des preuves, ou alors il faudrait qu’ils aient été confrontés à tous les contre-dessins possibles, mais totaliser tous les dessins ou contre-dessins possibles n’est pas une mince affaire… c’est un passage à la limite, une idéalisation. Mais bon, admettons qu’il soit faisable, quels ensembles de dessins allons-nous privilégier, étant entendu que nous ne souhaitons plus partir d’une formule à démontrer mais simplement de dessins, de candidats à devenir des preuves… qu’est-ce qui est preuve, dans tout ça ? Ici intervient l’Autre, la caractérisation par l’extérieur, le négatif, le complémentaire… et en cela Hegel, avec sa dialectique, n’est plus très loin.

Car si les dessins de deux dialoguants sont dans une situation d’orthogonalité quand on arrive à une « fin heureuse » (une convergence) et que l’on peut alors écrire D ⊥ E, où D est le dessin du premier intervenant et E celui du second, alors on peut associer à D un ensemble de dessins particuliers : tous ceux qui sont comme E, autrement dit orthogonaux à D. Notons D┴ cet ensemble. Si nous avons pu prendre l’orthogonal (le négatif) une fois alors rien n’empêche qu’on le prenne deux fois, et qu’on fabrique D┴┴ qui, bien sûr contiendra D comme l’un de ses éléments, mais pas lui seul, d’autres aussi, dont on peut dire qu’ils se comportent comme D du point de vue de l’orthogonalité. On définira alors D┴┴ comme un comportement. D’où une totalisation possible à partir d’un dessin, mais qui passe par le négatif.

La locativité au lieu de l’identité(*)

Un point important est que, bien entendu, se passant des formules (notamment des lettres qui les composent, les A, B, C, …), on doit bien dire où et comment s’enracinent les processus qui nous intéressent. Ici, la grande nouveauté girardienne fut d’introduire les lieux, rien que des lieux (locus solum, dit Girard dans un article manifeste de 2001 en reprenant le titre d’un roman de Raymond Roussel, à peine déformé – Locus Solus). C’est à partir d’un ensemble de lieux qu’une stratégie se développe, exactement d’ailleurs comme dans les jeux dits de stratégie, où l’on ne donne aucune identité particulière à une case de l’échiquier, qu’elle soit blanche ou qu’elle soit noire (autrement dit positive ou négative dans la terminologie ludique). Libre à nous ensuite d’étiqueter les cases si cela nous chante, mais cela n’aura rien changé à la règle du jeu, ni aux stratégies que l’on peut élaborer.

Parler de lieux, de localités donc (de loci comme on dit aussi dans le vocabulaire de la ludique), cela résonne étonnamment bien à l’heure où les identités sont trop souvent mises en exergue, ruinant et minant l’espace social. On retrouvera ici un passage du livre récent du groupe réuni autour de Bernard Stiegler (Bifurquer) :

Une localité n’est pas une identité. C’est au contraire un processus d’altération constitué de localités plus restreintes et multiples, et inclus dans de plus vastes localités.

Ou encore :

La localité est le moteur de la différence elle-même ; elle n’est pas constituée par son identité (elle n’en a pas) mais par son potentiel de différenciation […]. La différence est première, c’est-à-dire primordialement liée à une autre différence plutôt qu’à l’existence d’une identité pré-constituée.

Voilà peut-être ce qu’a toujours voulu Girard : fuir l’identité et l’essentialisation pour ne partir que de systèmes de différences, échelles de différences par lesquelles se construit une réalité qui n’est que transitoire, évanescente, toujours condamnée à disparaître mais pour donner naissance à d’autres différences. En somme, il n’y aurait pas d’êtres (même en mathématiques) mais seulement des systèmes de différences, autrement dit des comportements, dont les agencements divers ne pourraient que donner l’apparence de l’être. L’apparente stabilité de la formule ne viendrait que d’une immobilisation temporaire « forcée » dans un comportement.

Le rôle des tests

Mais on l’a vu, Girard abandonne la ludique pour cause d’incapacité à fournir une authentique caractérisation de ce qu’est réellement une preuve en logique (et en mathématique). Un comportement demeure cependant un ensemble de desseins (ou dessins) (dont nous ébaucherons plus loin le mode de construction). Une particularité d’un dessin, alors illustrée par notre présentation succinte donnée précédemment des réseaux de preuves, est que, pour être reconnu comme « preuve », il faut qu’il passe certains tests. Dans notre illustration, il fallait essayer toutes les sélections possibles d’une arête sur les deux d’un lien « par » (ce qu’on appelle un switching) et vérifier chaque fois si on obtenait un graphe connexe et sans cycle. Chacun de ces switchings donne lui-même un réseau (un dessein) et le dessein global est correct (est une preuve) si et seulement s’il passe l’épreuve de chacun d’eux. On comprend ainsi la dualité qu’il peut y avoir entre preuves et tests. On exprimera à nouveau cette dualité en termes d’orthogonalité. On écrira P⊥T pour l’orthogonalité entre une tentative de preuve et son test (qui est aussi une tentative de preuve, mais de la «thèse » opposée… inutile de se demander ce qui pourra tester un test, c’est le réseau auquel il s’applique, il y a parfaite dualité!), et on écrira P┴ pour l’ensemble de tous les desseins orthogonaux à P. On peut alors construire P┴┴ et… on retrouvera la même idée de comportement que précédemment.

La notion de comportement donne la clé de la reconstruction de la logique : on pourra essayer toutes sortes de combinaisons ensemblistes pour obtenir les différents connecteurs… Bien sûr, on peut aussi utiliser ceux que nous connaissons déjà, les tenseurs, les par etc. mais rien n’interdit d’en introduire de nouveaux. Dans la logique linéaire initiale, il y avait aussi des opérateurs un peu particuliers, on les appelait exponentielles (pour des raisons que je ne donnerai pas ici), on les notait « ! » et « ? », par exemple «!A » indiquait le caractère inépuisable d’une ressource (on pouvait penser à l’air que nous respirons… sauf que désormais, cette analogie est suspecte, continuerons-nous encore longtemps à le respirer?), «?A » était plus difficile à interpréter… comme une « sous-ressource » en quelque sorte… peut-être « pourquoi pas A ? », une éventualité de ressource… Cela était fait pour que (!A)┴ =?(A┴) (le point de vue opposé à l’inépuisabilité de A est le doute sur le fait qu’on puisse seulement nous en fournir un exemplaire). Ces sortes de « modalités » sont abandonnées : trop complexes à exprimer en termes de réseaux. Mais à la place des connecteurs nouveaux, susceptibles de les englober (comme !A⊗ B etc.).

On pourra même donner sens à des écritures à première vue bizarres comme ∃X P (X), où P (X) est un comportement dépendant d’une variable, mais je n’entre pas dans ces détails…, je note simplement qu’ils permettent de reconstruire l’équivalent d’une logique de second ordre. Bien noter en effet que dans ce genre d’écriture, X n’a rien à voir avec une « variable individuelle », il s’agit de l’équivalent d’une proposition, ce qui explique qu’il y ait des liens axiomes entre X et ~X (et donc aussi à côté de X : ~X, ce qui n’aurait aucun sens avec des variables individuelles!).

Nous avons ici la réalisation de ce que Girard annonçait à la dernière page du fantôme de la transparence :remplacer les individus par des propositions, a par « je suis a » de sorte que le problème de l’égalité soit résolu, a n’étant plus égal à b « parce que toute propriété de a est propriété de b et réciproquement » mais parce que, tout simplement, il y a équivalence (linéaire) entre « je suis a » et « je suis b ».

De l’introduction des katakana

Un mot sur la construction des réseaux : des étoiles remplacent les suites de formules atomiques, du genre (p₁, …, p_k, q₁, … , q_l), dont les p_i et les q_j sont les rayons, leur différence étant que les premiers (de 1 à k) sont dits objectifs et les seconds (de 1 à l) subjectifs. Si l = 0, on a une étoile objective. On les branche par des liens axiomes et par des liens venant du bas du réseau, ceux associés aux opérateurs. La notion d’unification, familière à tous ceux qui ont fait du Prolog dans les années quatre-vingt, est abondamment utilisée (trace du théorème de Herbrand) et le réseau est dit correct s’il vérifie la formule d’Euler-Poincaré calculée avec des poids qui dépendent des atomes et des partitions induites sur eux par les opérateurs, ces poids étant différents selon la part prise par les objectifs et les subjectifs dans la démonstration, une preuve est visible si son poids est positif.

Ainsi peut-il bien y avoir des preuves visibles et des preuves invisibles ! Un comportement est « vrai » si et seulement s’il contient une preuve visible.

Si l’on considère les atomes, il vient vite que, en réalité, il en suffit de deux, l’un objectif, l’autre subjectif (se souvenir que le propre de la logique linéaire est de ne pas avoir de règle de contraction, si un même objet est répété deux fois, les deux fois comptent, on ne fait pas comme s’il y avait juste une instance idéalisée de la chose, que l’on reproduirait autant de fois que l’on veut). Ce sont les deux seules constantes admises désormais, qui n’ont rien à voir avec ce que l’on appelle couramment constante prédicative (P, Q, R, …) dans la logique des prédicats : ce sont de vraies constantes, comme le sont π ou e… c’est pour cela que Girard leur réserve des noms exotiques, fu et wo de l’alphabet des katakana (allez savoir pourquoi…). Et la grande nouveauté est que ces wo et fu suffisent à… reconstruire l’arithmétique formelle ! Mais je n’en dirai pas plus…

Vers le soubassement : géométrie et calcul

Comme on peut le constater, la notion « d’absence de cycle » joue un rôle central dans la définition des preuves : absence de cycle dans un branchement (ou switching) et absence de cycle dans l’unification des termes (on ne veut pas obtenir d’équation du genre y = f(y) ce qui entraînerait y = f(y) = f(f(y)) = f(f(f(y))) = … indéfiniment). Dans un domaine plus discursif et dialogique, comme fourni par les dialogues socratiques, nous avions montré, quelques amis et moi, que là était une source de la logique socratique, qu’il ne s’y agissait pas d’amener à une contradiction au sens aristotélicien, mais à une situation où le dialogue doit s’arrêter car les participants atteignent la certitude que s’ils continuaient l’échange d’arguments, celui-ci serait sans fin, sorte de constat d’impasse (tu soutiens A, moi je soutiens ~A, rien ne t’oblige à renoncer sauf que chaque fois que tu avanceras A, tu sauras que, moi, je reproduirai mon argument en faveur de ~A, et moi je sais que tu peux reconduire A de la même manière, de sorte que la discussion sera sans fin – cf. en particulier le dialogue Hippias mineur). Par ailleurs, une preuve, on le sait, est la stricte analogue d’un programme or le bouclage infini (absence d’arrêt) d’un programme est le signe le plus pur de son échec, de l’existence d’une erreur fatale en son sein (et on sait aussi qu’il n’y a aucun moyen a priori de se prémunir de ce genre de risque…).

La démarche de Jean-Yves Girard parviendrait donc à cerner au plus près les conditions de possibilité de la logique dans des contraintes d’ordre géométrique et calculatoire (les deux, le géométrique et le calculatoire, étant probablement liés). C’est en cela bien sûr que l’on peut répondre à Ange Scalpel que non, les axiomes de la logique ne sont pas condamnés à être circulaires, d’abord parce qu’il n’y a pas d’axiome à proprement parler (!) ensuite parce que justement c’est l’évitement des cycles et circularités qui fonde la logique.

Petite remarque ici : cela ne veut pas dire que cycles et circularités soient bannis, interdits de cité, voués aux gémonies, de même que les réseaux qui divergent (les interactions entre dessins qui se perdent dans l’infini) ne sont pas des démons dont on ne veut rien savoir, simplement ils n’entrent pas dans la logique, ils appartiennent à un ailleurs sur lequel il est difficile de construire des discours, géométrie mystérieuse et quasi inconnue comme celle des trous noirs…

(*) Dans la ludique, comme dans les réflexions menées dans « Bifurquer », la locativité s’oppose à l’identité comme le pur existant s’opposerait à l’essence. En disant qu’il n’y a rien que le lieu, Girard revendique un existentialisme sans transcendance ni ego. Une pensée naïve exprimerait qu’il y a de l’identique, en particulier un soi qui demeurerait identique à lui-même au cours des changements de lieu et de temps, l’identique à soi serait celui qui dit «je ». Aporie de la linguistique énonciative : qu’est-ce que « je » ? réponse : celui qui dit « je » (et il n’y a pas d’autre réponse), mais celui qui disait « je » n’est déjà plus là, n’est plus le même que le « je » de « maintenant », lequel « maintenant » est déjà aussi dépassé. Il n’y a donc que des localisations temporaires, des loci que des dessins joignent les uns aux autres selon une géométrie soumise à l’aléa. Bien peu de réseaux convergent entre eux (un infini dénombrable par rapport au continu des possibles?) grâce auxquels on puisse repérer des comportements. Cette théorisation a un contenu politique, aussi étrange que cela puisse paraître au premier abord, dans la détermination d’une « droite » et d’une « gauche », question que je me pose souvent à moi-même afin de savoir à quel camp j’appartiens, c’est facile à savoir : l’identité est de droite, la locativité est de gauche. Qui se dit attaché au concept d’identité est forcément de droite : il tient aux valeurs attachées aux racines, à la prégnance du sol. Heidegger est de droite. Il est insensé que des gens dits de gauche se soient réclamés de lui. A l’inverse, la locativité est prête à accueillir n’importe quelle formule, n’importe quelle marque d’une présence, en cela elle manifeste son ouverture à l’autre, au négatif. Hegel est bien sûr de gauche.