L’inquiétant monsieur Gödel

Il avait mis à bas l’espoir de ses maîtres : non celui qu’ils avaient placé en lui, mais celui qu’ils avaient érigé pour leur propre omnipotence. Ses amis positivistes voulaient réduire l’indicible, ce que le langage des hommes ne pouvait atteindre. En mathématiques, borner la recherche à la seule machinerie était un leurre ; Kurt leur avait fourni un résultat destructeur construit avec le langage même qu’il était censé consolider.

Il n’avait jamais été un disciple aveugle du Cercle positiviste, il se révélait même être le loup dans leur bergerie, mais dans ce tout petit monde, il lui fallait creuser une place. Il avait besoin d’eux pour se stimuler ; ne pas se laisser porter par le Zeitgeist. Voilà aussi peut-être ce qu’il avait aimé en moi : ma candeur. J’acceptais mon intuition avec plus de naturel. Mes jambes lui ont plu, je l’ai retenu par ma radieuse ignorance. Il disait : « Plus je pense au langage, plus je suis stupéfié que les gens parviennent à se comprendre. » Il n’était, lui-même, jamais approximatif. Dans ce monde de beaux parleurs, il préférait le silence à l’erreur. Il aimait l’humilité face à la vérité. Il possédait cette vertu en quantité toxique ; craignant les faux pas, il en oubliait d’avancer. (Yannick Grannec, « La Déesse des petites victoires »)

Si Y. M. le logicien russe, du haut de la tribune du colloque auquel je participais en mai dernier à Saint-Petersburg, n’avait tout à coup, contre toute attente, au cours d’une table ronde qui réunissait une petite élite de savants russes, fait allusion, et même recommandé, comme distraction instructive, ce livre – il avait dit : this small book in French, « la déesse des petites victoââres » – sans doute ne l’aurais-je jamais acheté, ni donc a fortiori lu. Seulement voilà, au milieu d’une discussion savante, il avait ouvert le livre et lu en Français (tant pis pour ceux qui ne le comprenaient pas) ce passage :

Elle : Tu mens. Tous les hommes sont des menteurs.
Lui : Tout dépend de celui qui l’affirme. Est-ce une leçon de ton père ou de ta mère ? Syllogisme ou sophisme ?
Elle : Tu me causes chinois, ô monsieur le doctorant !
Lui : Si c’est ton père, tu ne pourras jamais savoir s’il ment ou non. Si c’est ta mère, sa vérité est contingente à son expérience avec les hommes.

Bien entendu, ceci n’était qu’une énième variation sur le paradoxe du menteur, inauguré par le mégarique Eubulide de Milet, puis repris sous sa forme la plus connue par Epiménide le Crétois… si un Crétois dit que tous les Crétois sont des menteurs alors ce qu’il dit est faux (puisqu’il est lui-même crétois), donc il existe un Crétois non menteur (d’après ce que dit l’énoncé), et c’est peut-être lui, auquel cas, il dit vrai et alors, en tant que Crétois, il est un menteur etc. On recommence : la boucle ne se clôt jamais et on ne saura jamais si le Crétois en question ment ou bien dit la vérité…

godelCe « paradoxe » ne concerne à vrai dire que de loin la contribution de Gödel à la science contemporaine : non, Kurt ne s’est pas contenté de recopier Epiménide… Peut-on juste penser que la structure de cet argument trottait dans sa tête quand il entreprit ce travail périlleux de répondre aux exigences des philosophes positivistes du Cercle de Vienne, et à Hilbert, qui souhaitaient que l’ensemble des mathématiques fût enrégimenté dans un système qui aurait permis de démontrer à coup sûr tout ce qui est vrai, à commencer par ce qui est vrai en arithmétique ? Un tel système, en le faisant fonctionner mécaniquement, aurait permis de délivrer tout ce qu’il y avait à savoir de vrai – de vrai en mathématiques, bien entendu.  Gödel prouve simplement qu’un tel système n’existe pas. Le raisonnement se fait par l’absurde : s’il en existait un, dans un tel système, on pourrait toujours construire un énoncé G qui se traduirait par : « G n’est pas démontrable ». D’où il s’ensuivrait que si cet énoncé est vrai, il n’est pas démontrable (d’après ce qu’il affirme) et s’il est faux, alors il serait démontrable, mais alors on serait dans un système inconsistant, puisqu’il serait capable de démontrer des choses fausses. Ajoutons que ceci est possible parce qu’on se focalise sur les énoncés de l’arithmétique et que le fait de pouvoir considérer les nombres entiers rend possible de coder tout énoncé logique par un nombre, comme au bon temps de notre enfance, lorsque nous inventions des codes secrets (« A » sera « 1 », « B » sera « 2 » etc. de sorte que BONJOUR soit le nombre 2015014010015021018 – en utilisant le 0 pour délimiter les lettres). Faisant cela, si tous les symboles utilisés dans le système formel candidat à la démonstration de formules d’arithmétique, sont codés et si le code est assez malin pour être injectif (à deux nombres différents correspondront deux formules différentes), chaque formule recevra un numéro. Imaginons qu’on soit même capable de dire par une formule ce que c’est pour une formule d’être démontrable, et donc aussi d’être non démontrable, alors une telle formule aura aussi son numéro. Si N est le numéro de la formule « la formule numéro K est non démontrable », on peut chercher à faire en sorte que les deux nombres, N et K coïncident. Si on y arrive – et on y arrive ! – alors, on obtient un nombre N0 qui est le nombre associé à la formule « la formule de nombre N0 est non démontrable ». Alors, si N0 est le nombre d’une formule vraie, la formule qui dit que la formule de nombre N0 est non démontrable est vraie, c’est donc que la formule de nombre N0 n’est pas démontrable et on a trouvé une formule vraie non démontrable… C’est aussi simple que ça, le théorème de Gödel… Evidemment, on sent qu’il y a des détails techniques, non abordés ici, dans cette démonstration. Mais on peut faire confiance à Gödel. Sa méticulosité était de nature à résoudre toutes les difficultés techniques.

Maintenant, que faire d’un tel théorème ?

Sans doute pas ce qu’ont voulu en faire toutes sortes de philosophes un peu fumeux, qui ont voulu y voir une faillite de la raison, voire, comme notre Régis Debray national, bon écrivain mais piètre philosophe, la preuve que le totalitarisme, ça ne pouvait pas marcher (comme si on avait besoin de passer par là pour le prouver !).

Le titre exact de l’article de Gödel était : Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés, apparemment donc l’ambition était modeste. Il se contentait de parler des propositions exprimées dans un système formel défini, celui mis au point par Russell dans les fameux Principia. On pourrait donc penser que le théorème est dépendant de ce système, et comme il s’agit de formules supposées exprimer des vérités arithmétiques, qu’il se rapporte aussi uniquement à l’arithmétique, ce qui en amoindrirait considérablement la portée… Or, les choses sont plus subtiles. Entre le résultat technique et le principe métaphysique que certains voudraient en tirer, il y a une marge, un spectre de réflexions qui mérite qu’on s’y arrête.

Le théorème d’incomplétude dit aussi qu’il existe une proposition qui n’est pas réfutable (puisqu’elle est vraie !) et qui pourtant n’est pas prouvable. Formulé de cette manière, on gomme la référence aux valeurs de vérité, on s’écarte de l’idée que le savoir se ramènerait toujours à un vis-à-vis entre un système formel d’une part, consistant en des expressions syntaxiques, des règles et des axiomes,  et un « modèle » d’autre part, c’est-à-dire un domaine d’objets muni de relations, ce n’est plus l’idée qu’il n’existerait pas de système formel permettant de prouver tout ce qui est « vrai » qui est mise en avant, mais l’idée qu’il n’existerait pas de système tel que, en lui, dès qu’une proposition n’est pas réfutable, elle est prouvable (ou bien, à l’envers, dès qu’une proposition n’est pas prouvable, elle est réfutable). Ce n’est pas parce que vous prouvez qu’il n’y a pas de réfutation explicite de A, que vous prouvez A ! De même, ce n’est pas parce que vous prouvez qu’il n’y a pas de preuve de A que vous le réfutez. (Après tout, on est habitué à penser que ce n’est pas parce qu’on n’a pas trouvé de preuve de la culpabilité d’un accusé qu’on a prouvé qu’il était innocent !).  Un ami logicien romain (M. A.), développant les idées du logicien français Jean-Yves Girard, montre que ce n’est pas de « modèles » opposés à des « preuves » (syntaxiques) qu’il s’agit, mais de deux niveaux de syntaxe. Les interpréter comme l’opposition entre syntaxe et sémantique revient à opter pour un certain « format », c’est-à-dire un point de vue non neutre sur les objets, une façon de voir parmi bien d’autres. Mais ce « format » n’est pas obligatoire. La question devient : existe-t-il un format, sous lequel on pourrait penser la logique dans son ensemble, qui serait tel que la question fondamentale de toujours savoir si, étant donnée une formule donnée, elle est prouvable ou réfutable, serait résoluble de manière positive. On arrive à prouver que, indépendamment du système particulier (celui des Principia ou un autre) et indépendamment de la discipline arithmétique, le théorème de Gödel permet d’affirmer que non.

Ainsi, rien n’abolira l’indétermination fondamentale, le choix indécidable entre d’un côté la prouvabilité, de l’autre la réfutabilité. Probablement parce que nous restons dans les limites d’un  langage, vu comme somme d’objets discrets, telles que le sont les machines (de Turing ou autres) d’ailleurs, et que ce n’est pas tant notre « raison » qui est en cause mais son rabattement sur une conception mécanique, voire mécaniciste (illustrée dans ce qu’on a appelé « l’Intelligence Artificielle »), le langage étant vu comme une machine égrenant une à une ses phrases, comme s’il n’y avait pas de fin, comme s’il était mu par un dispositif en dehors de nous-mêmes, conçu sans référence ni à un sujet ni à un corps, comme si les vérités éternelles pouvaient se trouver selon un tel mécanisme et donc sans nous. Ainsi, ce que le théorème de Gödel sanctionnerait, c’est l’idée que nous pouvons nous absenter de nos productions, le réel se racontant tout seul, sans notre point de vue de sujet.

Maintenant, si je retourne au roman de Yannick Grannec, je vois que, finalement, il est assez insignifiant, enfilant comme des perles de multiples anecdotes qui éclairent assez peu l’importance de Gödel dans l’histoire de la pensée… et, pour tout dire, sur la fin, assez ennuyeux.

PS : on pourra lire aussi sur Gödel, le livre, plus étoffé, de Pierre Cassou-Noguès, « Les démons de Gödel », sous-titré : « Logique et folie ». A n’en pas douter, Gödel était « fou », il croyait aux anges et aux démons et s’imaginait que ce qui empêchait d’obtenir la complétude d’un système, c’était quelque démon malfaisant, tapi dans un coin et, sur la fin de sa vie, il souffrit d’une grave paranoïa… Mais on le sait: les grands génies de la science ont souvent, hélas pour eux, connu le malheur et la folie.

file-736196

Cet article, publié dans Livres, Science, est tagué , , . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

6 commentaires pour L’inquiétant monsieur Gödel

  1. Debra dit :

    Intéressant.
    Je ne connais que très peu à la logique.
    Mais je m’intéresse beaucoup au langage (je suis bilingue et fais de la traduction).
    Comme vous, je dédaigne souverainement le réductionnisme positiviste dans quelque domaine qu’il sévit.
    Les signes… ne sont pas les signifiants.
    Il semble que le réductionnisme positiviste veuille réduire les langues humaines à des systèmes de signes univoques, EXACTES, sans polysémie, sans même qu’il reste debout l’ombre d’un sujet parmi nous (comme vous le pointez).
    Cette entreprise… totalitaire à mes yeux est non seulement ennuyeuse, mais fait souffrir.
    Gödel était-il fou de croire aux démons ?
    Il y a deux cents ans nos ancêtres n’étaient pas fous de croire aux démons.
    Mais depuis que l’hyperrationalisme (pas à confondre avec l’exercice délicat et forcément individuel de la raison) a sévi comme croyance parmi nous, nous oeuvrons avec acharnement à fermer le ciel ET l’enfer.
    Si seulement ça nous menait droit vers la terre promise de la « raison ».
    Que nenni…

    J'aime

    • alainlecomte dit :

      pour cette fois, je suis (presque) d’accord avec vous 🙂
      j’ai mis des guillemets à la « folie » de Gödel, comme le fait d’ailleurs l’auteur du livre cité. Est-ce fou de croire aux démons? je ne sais pas, mais ce dont on est sûr hélas c’est que Gödel était vraiment paranoïaque à la fin de sa vie, refusant de se nourrir parce que sûr qu’on voulait l’empoisonner.

      J'aime

  2. Debra dit :

    Quelques réflexions ce matin, après une relecture attentive de votre texte, qui reste très intéressant pour moi. A une époque lointaine, on logeait le Sujet absolu chez Dieu. D’une certaine manière, cette construction sophistiquée permettait de garder Dieu (et, en conséquence, l’absolu) au loin, tout en préservant une certaine relation, ne serait-ce que par la présence du mot « Dieu » dans les discours. C’est un enjeu capital pour une civilisation de pouvoir.. circonscrire l’absolu, ça veut donc dire, le délimiter, le confiner dans un/des lieu(x) et temporalités identifiables.
    Je considère que l’absolu est essentiellement un effet du langage lui-même, et de ce qu’il produit en nous.
    J’associe sur « Macbeth » de Shakespeare, la tirade de Duncan, où il explicite les raisons pour lesquelles la guerre civile s’est produite, à l’entrée de la pièce. « There’s no art to find the mind’s construction in the face ». (Il n’y a pas d’art pour trouver la construction de l’esprit sur le visage.) (De nos jours, il faudrait remplacer le mot « art » par « science », et cela donnerait un déplacement pertinent des enjeux.. modernes sur ce problème. Je crois pouvoir affirmer, en sachant qu’il n’y a pas, et qu’il n’y aura pas de preuves, qu’il n’y a pas de science pour trouver la construction de l’esprit sur le visage.)
    En passant, « Macbeth », comme les grandes tragédies, explore la manière dont le langage nous trompe, et ne peut que nous tromper, sur nous-mêmes, et sur autrui, qu’il s’agit de mensonge ou de malentendu, d’ailleurs. On ne peut pas réduire le problème du malentendu au mensonge, comme une société à fond dans le positivisme voudrait le… croire, d’ailleurs.

    Qu’est-ce que le mensonge/qui ment, dans un monde où le langage lui-même trompe, y compris celui qui parle ?

    Citation de mon mari dans une pièce qu’il a écrite : « La Reine de Saba ou le Second Jugement de Solomon » :

    Salomon : »Mais une parole peut être mensongère ! La preuve, c’est que toutes les deux (femmes) prétendaient la même chose.
    La reine de Saba : C’et parce qu’elle peut être mensongère qu’elle est d’essence divine : elle témoigne de la liberté de qui l’énonce. Et il revient à qui l’entend de lui accorder ou non sa foi… »

    J'aime

    • alainlecomte dit :

      L’absolu comme effet du langage, je suis assez d’accord. Et pour répondre à votre commentaire sur « Fatima », cela est lié au phénomène d’idéalisation que vous semblez incriminer chez moi. Bien sûr, dès que nous utilisons les mots, nous sommes dans l’idéalisation, pas de moyen de parler d’une chose sans « l’idéaliser » (paradoxalement, ce sont certaines tentatives poétiques qui peuvent revenir à un niveau plus concret du langage, au travers des sons). Je ne sais pas si le langage est d’origine divine, ce que je sais, me semble-t-il, est qu’il est notre transcendance.

      J'aime

      • Debra dit :

        Non. Comme vous êtes logicien, vous devez avoir une certaine exigence de la pensée, et je ne vous laisserai pas vous dérober de cette manière.
        Le mot « idéalisation » est tout aussi polysémique que d’autres mots peuvent l’être. (Même le mot « de » est polysémique, alors…)
        On peut s’interroger de savoir quel serait une idée… sans Platon.
        Nous avons une histoire en Europe en deça de Platon, même si un certain retour à une Antiquité qui n’a jamais été perdu, contrairement à ce que nous avons appris dans les manuels, lui a donné une sacrée mainmise sur nos esprits.
        Je ne parle pas de l’idéalisation qui se produit du fait, par exemple, de dire « Les Américains ». Je vous accorde que de mettre des êtres de chair et de sang, et d’os dans des catégories a des effets auxquels nous ne pouvons pas échapper.
        Mais il ne s’agit qu’accessoirement de cette idéalisation là.
        Il serait intéressant de faire une analyse poussée des champs sémantiques de : « idéal », « idole », « icône », « idée », par exemple, pour parvenir à pouvoir différencier des champs qui se sont progressivement mélangés dans nos esprits, laissant un grand magma sémantique très hostile à la possibilité de penser.
        Quelques questions… un idéal peut-il être un idole ? On pourrait se dire qu’il n’est pas possible de se prosterner devant… un mot abstrait, comme « liberté », ou « égalité », par exemple, mais… est-ce vrai ? Est-il possible de faire un idole d’une idée, ou d’un idéal ?
        Qu’est-ce qui se passe quand on fait des idoles ? (Pour moi, aucun doute, un des rôles de l’idole est d’annuler la possibilité de penser. On peut pourtant discuter de savoir s’il est un souverain… mal d’annuler la possibilité de penser SI ON NE FAIT PAS UNE OPPOSITION EXCLUSIVE DE PENSER ET DE RESSENTIR. Très important, ça. Je déteste qu’on fasse des oppositions exclusives de « penser » et de « ressentir ». Je crois qu’on peut penser ET ressentir, en même temps. Se souvenir aussi que nous avons un énorme héritage qui remonte loin dans le temps autour de cette question de l’idole…)
        En fabriquant un idéal/idole, qu’est-ce qui survient chez soi, par la construction de cet « objet » ? (Se souvenir qu’on fabrique de l’objet, au moins en partie, en vidant ce qui est sujet pour le mettre à l’extérieur et DEVANT LES YEUX.)
        Je vais prendre un exemple très parlant pour moi, et qui a un rapport avec l’image qui a déstabilisé manifestement beaucoup de personnes : la photo image d’Aylan, mort sur la plage.
        Il s’agit d’un ENFANT MORT. Le scandale suprême pour l’Occident en ce moment.
        S’il y a une dimension de l’oeuvre freudien qui continue à heurter les esprits, et qui a été violemment rejeté outre Atlantique, c’est le manifeste de Freud que les enfants ne sont pas « innocents ». Entendons par cela que les enfants sont des êtres qui, dès leur naissance, sont aux prises avec la sexualité humaine, et sont promis à un avenir où la sexualité adulte aura toute sa place.
        La pensée freudienne autour de l’Oedipe décrit de très jeunes enfants dans des attitudes de.. « séduction » à l’égard de leurs adultes tutélaires. Autrement dit… tout un chacun, à tout âge de la vie, et de manière différente, veut séduire, et a envie de plaire. Il (ou elle…) se sent vivant DANS ET PAR L’OEIL D’AUTRUI.
        L’idéalisation occidentale à l’heure actuelle insiste pour faire incarner l’innocence, entendue comme ignorance de la sexualité adulte, chez l’enfant. Et puisque « l’innocence » est portée/incarnée par le jeune enfant, cela rejette l’adulte dans un lieu… pas très ragoûtant, on pourrait dire, et avec l’adulte… la sexualité adulte en même temps. (Malheureusement le « ou » exclusif fait des ravages en ce moment… Il est trop systématique.)
        Les sociétés occidentales contemporaines sont basées sur un système de croyances qui logent cette innocence chez l’enfant, afin de pouvoir préserver « l’innocence » POUR L’ADULTE, et lui permettre de récupérer.. SON INNOCENCE par le biais de ses identifications avec le jeune enfant. Par la même occasion, cela lui permet de se sentir.. FORT, NON DUPE, PROTECTEUR, tout en ignorant le coût phénoménal de cette.. religion dévastatrice (à mes yeux).
        Où on voit notre… aveuglement terrible sur l’aristocratie et le pouvoir. Parce que l’idéalisation, comme l’idéal, instaure une aristocratie/privilège.
        D’où « l’enfant roi ».
        En mettant l’enfant (qui incarne non seulement l’innocence mais la jeunesse, l’avenir) sur un piédestal, nous le mettons dans un lieu intouchable POUR NOTRE BIEN (et à notre insu…) tout autant que pour le sien.
        Ce faisant, nous l’appauvrissons autant que nous nous appauvrissons nous-mêmes dans ce passe passe de.. clivage…(Si l’enfant incarne « l’innocence », qu’en est-il de mon « innocence » d’adulte ? Celui qui sait quelque chose, celui qui est.. INITIE, peut-il être REDUIT à un simple.. non dupe ?? Pouah. C’est glauque de cynisme corrosif.)
        D’où on voit qu’une société qui carbure à fond dans l’innocence de l’enfant continue à fécaliser, à diaboliser la sexualité COMME PAR LE PASSE… Mais tout en permettant à Monsieur et Madame Tout le Monde de se féliciter d’être libres en regardant la pornographie…
        Piquant, non ??
        Si je parle d’idéalisation, c’est de ce type d’idéalisation. Qui est liée, certes, aux catégories langagières, mais les dépasse.

        J'aime

  3. alainlecomte dit :

    @Debra: j’ai failli mettre votre commentaire dans les « indésirables ». Je comprends que vous ayez envie de répandre vos idées, auquel cas je ne saurais que trop vous conseiller d’ouvrir votre blog. Vous dites parfois des choses intéressantes mais, convenez-en, souvent aussi des choses qui n’ont aucun rapport avec le sujet traité dans le billet que ces choses sont censées commenter… Il serait trop long de répondre à ce commentaire ci, si ce n’est en disant qu’il va d’affirmations gratuites en affirmations gratuites et qu’il tire surtout vers vos obsessions. Peut-être l’homme occidental a-t-il inventé le dogme de l’innocence chez l’enfant (encore que « l’enfant-roi » soit un phénomène observable ailleurs qu’en occident) mais le raisonnement qui conduit au fait que l’adulte s’en sert pour regarder tranquillement des films porno me paraît pour le moins lacunaire.

    J'aime

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s