Badiou (5): L’événement ou Fabrice Del Dongo à Waterloo

Méditation sur l’événement. Quand et comment décidons-nous qu’il y a événement ? Indécidabilité. Qui veut croire en l’événement y croit, après tout. Oui, mais il y faut un esprit de conséquence. Ce que Badiou traduit en le terme de fidélité. Un événement se mesure à ses effets, aux fidélités qu’il crée. De là s’origine le fait que pour Badiou il y ait des similarités entre l’Art, la Science, la Politique et l’Amour…

1- L’axiome de fondation

L’Etre ne suffit pas. Qu’est-ce qui ne serait pas « être-en-tant-qu’être », autrement dit qui ne relèverait pas de l’ontologie ? Ce serait nécessairement quelque chose qui ne relèverait pas d’une situation, ne serait pas distinguable par une multiplicité quelconque. Un non-ensemble alors ? Peut-être. C’est ici que Badiou va faire usage de l’axiome de fondation. Grosso modo, un tel axiome n’est là que pour interdire explicitement la réflexivité de l’appartenance, autrement dit l’écriture « α∈α », mais pour cela il va plus loin, interdisant des situations dont cette dernière n’est qu’un cas particulier. En toute rigueur les ensembles purs sont des ensembles d’ensembles eux mêmes ensembles d’ensembles et ainsi de suite (puisque dans la théorie, il n’y a guère que et Ø qui soient établis, + les accolades et les symboles ensemblistes usuels), nous avons donc des chnes d’appartenance du genre : … a ∈ b ∈ c ∈ d … et ainsi de suite. Le point important est d’interdire que toutes ces chaînes soient telles que l’on retrouve en elles deux fois le même symbole. Autrement dit : pas de boucle dans les chaînes d’appartenance. Plus techniquement, l’axiome de fondation se dit : si a est un ensemble non vide, alors il a nécessairement au moins un élément b avec lequel il a une intersection vide. Autrement dit : puisque a est un ensemble d’ensembles on interdit qu’il n’y ait en lui, comme éléments, que des ensembles ayant eux-mêmes comme éléments des éléments déjà présentés dans a. Ce genre d’interdiction ne va pas de soi : dans de multiples situations, il peut s’avérer qu’une chaîne d’appartenance repasse par le même point. En informatique, par exemple, il arrive que l’on écrive des programmes qui bouclent indéfiniment. Je traduirai ceci en disant que si je représente l’exécution d’un tel programme par une succession d’états (états computationnels) et si je définis comme « appartenance » à un état b le fait qu’un autre état a le précède immédiatement dans l’ordre de succession des états, le « graphe » d’appartenance des états possède une boucle.

autoréférence

Dans le langage courant, si j’admets que la signification d’une phrase est l’ensemble des significations de ses constituants (et ainsi de suite), lorsque nous considérerons la phrase : « cet énoncé est faux », compte tenu du fait que le déictique « cet » renvoie à l’énoncé lui-même, nous aurons que la signification de « cet énoncé est faux » (phrase équivalente à « cet énoncé ») appartient à la signification de « cet énoncé est faux ». C’est là ce qu’on appelle un phénomène d‘auto-référentialité. On ajoutera que ce type de phénomène est bien fâcheux puisque pour évaluer la valeur de vérité de la phrase (par exemple « cet énoncé est faux ») il va falloir évaluer la valeur de chaque constituant et donc en particulier de la phrase elle-même… Ces situations sont donc fréquentes mais exclues de la théorie des ensembles cantorienne (telle qu’axiomatisée plus tard par Zermelo). Il n’empêche que de nombreux théoriciens ont voulu les prendre à bras le corps et les théoriser elles-mêmes. Il suffisait pour cela de rejeter l’axiome de fondation. Le mathématicien anglais Peter Aczel a, en 1988, attiré l’attention sur les « non-well-founded sets », l’idée était ancienne mais il a donné une formulation claire de cette théorie en introduisant un axiome dit « d’anti-fondation ». La seule chose qui est demandée aux ensembles est que, lorsqu’on représente leur relation d’appartenance par un graphe, ce graphe ne soit pas forcément un arbre (ensemble de chaînes issues d’un même sommet mais ne se rencontrant jamais) mais un graphe sans chaîne infinie tel qu’on puisse toujours étiqueter les sommets par des ensembles de manière cohérente (et unique!).

Badiou n’envisage pas cette possibilité, il en reste à la théorie des ensembles bien fondées (« well-founded sets »). Cela aura de grandes conséquences philosophiques, comme nous le verrons.

ensembles de divers types et mathème de l’événement

2- Qu’est-ce qu’un événement ?

Nous touchons à un point nodal de la réflexion badiousienne, celui à partir duquel une réflexion sur la politique (en particulier) mais aussi sur le Sujet, sera possible.

La bataille de Waterloo, par Clément-Auguste Andrieux

L’historien qui tente de définir un événement de manière précise à partir d’éléments matériels a beaucoup de mal. Fabrice Del Dongo parcourant le champ de bataille de Waterloo ne voit rien qui « fasse événement » si ce ne sont des cadavres et des canons abandonnés, « ce qu’il avait vu, était-ce une bataille ? Et en second lieu, cette bataille était-elle Waterloo ? » (Folio 155, p. 89). A le suivre, nous définirions ladite bataille comme un ensemble disparate d’objets et de corps en quoi on ne reconnaîtrait rien d’un événement faisant date dans l’histoire. Il semble qu’il faille quelqu’un, ou qu’il faille quelque énoncé pour décider ou dire : « ceci est une bataille » et même « ceci est la bataille de Waterloo ». Badiou préfère, certes, l’exemple de la Révolution française. Bataille de Waterloo et Révolution française sont deux syntagmes qui, à la fois, dénotent des ensembles quasi infinis de faits et de témoignages et renvoient, pour chacune de ces traces, la « valeur » d’être une marque de la bataille de Waterloo ou de la Révolution française comme si Bataille de Waterloo et Révolution française étaient déjà des signifiants inclus dans ce qu’elles désignent (on notera ici le rapport avec les expressions auto-référentielles mentionnées plus haut).

Evidemment, aucun ensemble ne peut être fait comme cela. De plus, il n’est pas question que l’événement soit « naturel » : il ne saurait prendre corps d’une situation que nous avons qualifiée dans le billet précédent de « naturelle » ou de « normale ». La situation où il prend corps est une situation historique, c’est-à-dire une de celles où présentation et représentation ne coïncident pas (ou pas toujours), autrement dit qui possède des singuliers. Badiou a déjà relevé les membres du prolétariat comme singuliers au sein d’une situation historique : le prolétariat existe bien que ses membres ne soient pas présentés dans la situation. Si ses membres étaient présentés dans la situation, alors le collectif qu’ils forment serait une partie et donc appartiendrait à l’état de la situation (l’ensemble des parties de l’ensemble associé à la situation), ce qui signifierait qu’ils sont représentés. Or dans une situation historique liée au capitalisme tel qu’analysé par Marx, les membres du prolétariat ne sont pas représentés. Nous retrouvons l’idée de la remarque exposée au billet n°3 (rappel sur la fondation sur le vide) concernant les ensembles « non-purs » (c’est-à-dire non formés à partir de Ø au moyen des seuls axiomes), ceux qu’on écrit {α, β, γ, …} sans connaître ce dont α, β, γ, … sont faits et pour lesquels nous avons dit qu’ils étaient en un sens « vides » (vides de déterminations) : on ne sait rien de leurs éléments et donc ceux-ci ne sont jamais présentés dans la situation, et donc α, β, γ, … ne sont jamais des parties de l’ensemble (contrairement à ce qui se passe dans le cas des ordinaux).

Evariste Galois

On peut par exemple imaginer un singleton {α}. Les éléments de α ne sont pas présentés dans la situation. Ce sont des invisibles (même s’ils existent). Il faut savoir gré à Badiou de permettre de penser ces questions d’invisibilité en termes ensemblistes si simples. Qu’est-ce alors qu’un événement si ce n’est une manière de rendre visible ce qui ne l’était pas jusque là ? Pour sortir un peu de l’Histoire et de la Politique, Badiou donne un exemple issu d’une histoire, mais de celle des mathématiques : celui d’Evariste Galois se plongeant dans le problème irrésolu de la solution par radicaux des équations de degré supérieur ou égal à 5 et révolutionnant pour longtemps l’algèbre, notamment par l’invention de la notion de groupe. Galois lui-même ne se glorifie pas du titre de « génial inventeur » puisqu’il dit qu’il n’a fait que suivre les injonctions contenues dans les manuels de ses prédécesseurs, il souligne le fait que ces injonctions étaient bien là mais « à l’insu de leurs auteurs » ! Ainsi Galois fait-il être au devant de la scène mathématique ce qui, jusque là, était resté dans l’insu, l’invisible. Mais pour qu’il y ait événement, il faut un « site » (comprenons ici un contexte, un problème posé, une situation historique etc.), ce site a cette particularité donc d’avoir un insu ou un invisible. Autrement dit, c’est comme la lettre α qui figure dans le singleton : elle présente quelque chose mais sous elle, il n’y a rien (rien de visible). Badiou va alors donner le mathème de l’événement : c’est eα = {x ∈ α, eα}. Je l’écrirai aussi simplement eα = α ∪ {eα}. C’est là quelque chose de bizarre, que les informaticiens appellent aussi une équation de point fixe. On voit que si l’on tente de développer cet ensemble, on tombera sur une suite infinie (en remplaçant à chaque pas eα par sa « définition »)eα = α ∪ {eα} = α ∪ {α ∪ {eα}} = α ∪ {α ∪ {α ∪ {eα}}} = etc.(Bien noter que ce n’est pas sans arrêt le même α qui est ajouté à lui-même – ce qui par idempotence donnerait toujours α ! – mais à α, {α}, puis {{α}} et ainsi de suite, qui sont tous des ensembles distincts). Dit autrement : l’événement est toujours constitué des éléments d’un site et d’un élément très particulier qui en assure la nomination. Badiou pose la question : est-ce que l’événement appartient au multiple qui le définit ? C’est se demander surtout si eα appartient à α (car se demander s’il appartient à {eα} est redondant). Si la réponse est oui, alors c’est comme un imprésenté puisque les éléments de α, on le sait, ne sont pas présentés dans la situation. Si la réponse est non, alors eα ne nomme rien… il n’y aura rien eu sous ce que l’on croyait être un « événement »… Il n’y aura eu lieu que le lieu (le site événementiel). Il me semble que la question pourrait également être formulée comme suit : que faut-il pour que l’équation de point fixe ci-dessus ait une autre solution que la suite infinie que nous avons mentionnée comme « développement » ? Filant la métaphore informatique, cela revient à se demander s’il peut exister un programme qui ne boucle pas, « réalisant » cette équation… La réponse est oui si et seulement si eα ∈ α puisqu’en ce cas la situation absorbe le surnuméraire.

Mais comment le savoir puisque nous n’avons pas accès à l’intérieur de α ? C’est un indécidable. Ou, de manière plus féconde : cela relève d’un choix. Le philosophe parle aussi d’intervention : il y faut en effet une intervention interprétante. On ne peut pas laisser la réponse à une quelconque procédure automatisable. Si cela était, il n’y aurait pas de surprise : la décision pouvant toujours être prise, il n’y aurait pas d’événement. La structure mystérieuse qui comporte une boucle s’aplatirait, on retrouverait un multiple banal, de ceux dont on sait toujours dire si un élément leur appartient ou non, autrement dit un ensemble. Si un événement était un ensemble, il y aurait une ontologie de l’événement. Celui-ci appartiendrait à l’être. Il serait toujours déjà là.

Notons au passage que Badiou doit cela à la décision que lui-même a prise de considérer que la théorie des ensembles (c’est-à-dire le discours de l’ontologie!), c’est la théorie des ensembles bien fondés. S’il avait choisi la théorie des ensembles bâtie sur l’axiome d’anti-fondation, nous n’en serions pas là… l’événement aussi serait dans l’être ! On peut réfléchir à ce qui peut paraître ici comme faiblesse de cette théorie de l’être et de l’événement. Un choix différent des axiomes de la théorie des ensembles pourrait conduire à des conclusions autres (sans compter qu’il pourrait être possible de choisir une autre théorie des multiples que celle des ensembles, la méréologie de Lesniewski par exemple). Badiou, en somme, fait comme si les mathématiques s’étaient figées sur un état représenté par la théorie de Zermelo – Fraenkel… En même temps, nous pouvons être fascinés par le fait que la décision dont il est question relativement à l’existence ou à la non existence d’un événement (ce que Badiou appelle l’intervention) se retrouve dans la situation mathématique elle-même autrement dit dans le choix d’une ontologie. Le serpent se mordrait-il la queue ? Ou bien faudrait-il admettre que toute théorie, comme tout système informatique, nécessite une amorce (une opération de bootstrapping disent les informaticiens) et que celle-ci au départ est l’oeuvre d’un choix ? Jamais le choix n’abolira…

Et Badiou de se lancer justement dans une longue discussion de ce qu’est l’axiome de choix.

3- l’axiome de choix

Nouvel axiome de la théorie des ensembles, et le plus discuté car tous les mathématiciens ne sont pas d’accord pour l’admettre. La question du choix en mathématiques se pose dès que nous avons affaire aux ensembles ayant la puissance du continu : qui peut assurer que nous puissions extraire du continu un élément particulier (puisque dans cette structure, aucun nombre n’a ni successeur ni prédécesseur, qu’ils sont tous en quelque sorte « serrés » les uns contre les autres) ? Cette question de pouvoir choisir un élément se pose très souvent. On va donc poser un nouvel axiome qui a, comme signification que pour tout ensemble a, il existe une fonction f qui, à tout ensemble appartenant à a, associe un élément de cet ensemble, autrement dit il est toujours possible, grâce à une fonction f « miracle » d’extraire un point d’un multiple qui est sous-multiple d’un ensemble donné. Cette fonction-miracle (!) est une fonction de choix. Badiou a raison de signaler le caractère exceptionnel de cet axiome : il nous dit que cette fonction existe… mais elle n’est jamais explicite. On ne sait pas l’élément qu’elle extrait de l’ensemble ! C’est un anonyme.

De la même manière que dans le cas de l’événement, si un élément peut être extrait du site pour servir à nommer l’événement (être une valeur de eα)… nous ne le connaissons pas, il n’a pas de valeur particulière, c’est lui aussi un anonyme. Dans l’exploration de l’événement comme tel, nous ne savons pas quel trait préalablement enregistré dans le site événementiel va être le déclencheur, et sans doute nous ne le connaîtrons jamais. Nous nous contentons seulement d’être confiant dans l’axiome ou dans la détermination d’un point qui servira de manière générique à désigner ce que nous considérons comme événement…

C’est de là que partiront deux lignes centrales : la question de la Fidélité et celle du Sujet. Le choix que nous avons fait, il importe maintenant que nous y soyons fidèle (condition pour atteindre une vérité) et pour que fidélité existe il faut bien un « nous » qui la porte, autrement dit un Sujet. Mais avant d’en arriver là, il faut rester un moment sur cette étrangeté qui réside en ce que la Mathématique (je mets à dessein une majuscule et un singulier) qui est a priori discours de l’ordre et du non subjectif a besoin, pour se développer, d’un axiome qui postule l’existence d’un choix dans toutes les situations possibles, à première vue une sorte de libre-arbitre dans le domaine de la Nécessité la plus absolue. Car nul doute qu’en effet, elle en a besoin sans quoi il faudrait renoncer à une foule de théorèmes qu’un mathématicien ne souhaiterait perdre à aucun prix, comme par exemple en algèbre le fait que tout espace vectoriel ait une base… Au prix de devoir accepter que l’ensemble des nombres réels puisse être muni d’un bon ordre, autrement dit qu’il soit possible d’énumérer les réels (un premier, un second, un troisième et ainsi de suite) ce qui paraît à l’esprit « raisonnable » hautement invraisemblable ! (c’est la raison pour laquelle il y eut scission entre la grande majorité des mathématiciens et une petite minorité qu’on continue d’appeler les « intuitionnistes »). Or, cet axiome dit que « nous » pouvons choisir… à condition de respecter l’anonymat de l’élément choisi… Mais qui est ce « nous » ? Pour l’instant, Badiou parle « d’activité intervenante » : « l’axiome de choix est l’énoncé ontologique relatif à cette forme particulière de présentation qu’est l’activité intervenante » (p. 254). Pas de mathématique sans intervention active, donc. Et sans doute pas d’histoire, pas d’art, pas de science (pas d’amour?) sans cette activité intervenante non plus, laquelle apparaît ici comme un produit de la réflexion avant même que n’entre en scène le Sujet.

4- Qu’est-ce qu’une fidélité ?

Avant que Badiou ne passe au Sujet, il en a effectivement après un type de procédure qui, pour le commun des mortels, en principe, découle de l’existence dudit sujet, mais qui, ici, vient avant : les procédures de fidélité. Un exemple assez simple : étant données les discussions autour de la légalité de l’axiome de choix, les mathématiciens marquent d’une étoile les résultats qu’ils ont obtenus en l’utilisant, afin de les discriminer de ceux que l’on obtient sans usage de l’axiome, c’est là montrer la « fidélité » que l’on a au (méta-)choix déterminant que l’on a fait une fois.

Badiou en vient ainsi à définir, de manière générale, la notion de fidélité. Laissons lui la parole au début de la méditation 23 :

Une fidélité est en somme le dispositif qui sépare, dans l’ensemble des multiples présentés, ceux qui dépendent d’un événement. Etre fidèle, c’est rassembler et distinguer le devenir légal du hasard.

Le mot « fidélité » renvoie nettement à la relation amoureuse, mais je dirais plutôt que c’est la relation amoureuse qui renvoie, au point le plus sensible de l’expérience individuelle, à la dialectique de l’être et de l’événement, dont la fidélité propose une ordination temporelle. Il est hors de doute en effet que l’amour, ce qui s’appelle l’amour, se fonde d’une intervention, et donc d’une nomination aux parages d’un vide convoqué par une rencontre. Tout le théâtre d’un Marivaux est consacré précisément à la délicate question de savoir qui intervient, dès lors qu’est à l’évidence institué, au seul hasard de la rencontre, le malaise d’un multiple excessif. La fidélité amoureuse est bien la mesure à prendre, dans un retour à la situation dont longtemps le mariage fut l’emblème, de ce qui subsiste jour après jour de connexion entre les multiples réglés de la vie et l’intervention où se déroula l’un de la rencontre. Comment, du point de l’événement-amour, séparer dans la loi du temps, ce qui organise, au-delà de sa simple occurrence, le monde de l’amour ? Tel est l’emploi de la fidélité, et il y faut l’accord presque impossible d’un homme et d’une femme sur le critère qui distingue, dans tout ce qui se présente, les effets de l’amour du train ordinaire des choses. (p. 257)

Très beau passage à méditer : la fidélité y est décrite non comme une capacité, un trait de subjectivité ni une vertu mais comme simple procédure. Dans l’ensemble des situations rencontrées, nous allons désormais pouvoir étiqueter spécialement celles qui dépendent d’un événement initial pour les opposer à celles qui lui sont indifférentes. Dans l’amour tel que le dépeint Badiou, c’est savoir pour un sujet à venir ce qui est lié à l’événement que constitue la première rencontre et le distinguer de ce qui ne lui est pas lié, différencier, comme il est dit, « les effets de l’amour du train ordinaire des choses ». N’entrons pas ici dans les détails techniques. Il suffit de savoir qu’en tant que procédure liée à un événement, une fidélité permet de définir un ensemble de situations liées à cet événement, donc une partie au sens ensembliste. C’est dire qu’elle a à voir avec l’état, la méta-structure, et qu’elle a toujours quelque chose d’institutionnel. Mais aussi ce que dit ce texte, c’est qu’il faut un critère (voire plusieurs) pour distinguer ce qui est lié par rapport à ce qui n’est pas lié, et bien entendu, dans ce Deux que constitue la rencontre, l’homme et la femme ne sont pas obligés d’avoir le même ! C’est même presque un miracle (un impossible) qu’ils aient le même !

Jeu de l’amour et du hasard vu par Abdellatif Kechiche

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2 commentaires pour Badiou (5): L’événement ou Fabrice Del Dongo à Waterloo

  1. Debra dit :

    C’est très compliqué. J’essaie de m’appliquer pour suivre un peu. Le refus de « boucler » me renvoie au glissement métonymique dans une pensée sans métaphore. Le problème de boucler me renvoie aussi à mon constat étonné de tant d’amis qui ne veulent pas faire des promenades sous forme d’aller-REtour, mais des boucles. Sur le terrain, et quand l’espace entre en jeu, ce qui se fait sous forme de boucle empêche de voir deux fois le même paysage. Quand l’espace intervient, et quand il faut en tenir compte, le monde n’est plus le même.
    Oui, pour l’idée que l’interprétation est ce qui fait jaillir l’événement en même tant que ça fait jaillir le sujet, je dirais.
    Il est dommage de comparer la bataille de Waterloo avec la Révolution Française. Les deux « événements » ne sont pas du même ordre, comme quoi, l’événement n’est pas homogène. La Révolution Française continue à se dérouler sous nos yeux, alors que la bataille de Waterloo, non.
    Pour la nature de la fidélité, le judaïsme a toujours privilégié la pratique du rite lui-même a toute… confession/profession de foi, pour.. DEFINIR le croyant. On peut comprendre. Celui qui est juif est celui qui pratique le quotidien, avec les innombrables contraintes/prescriptions religieuses (Mitzvot). (Mais pour être un bon Juif, il ne faut pas TOUT pratiquer. C’est TOUT l’ensemble moins un, en quelque sorte.)
    Je ne sais pas si on peut vraiment distinguer les effets de l’amour du train ordinaire des choses. Cela n’a pas grand sens à mes yeux. Je vois une vie extraordinaire sous le quotidien, certes, grâce à une certaine.. interprétation…Est-ce que cela voudrait dire que j’ai une certaine aptitude à « créer » de l’événement dans ma vie, même avec de l’infime ? Cela me plairait comme idée. De même, au bout de longues années de vie commune, on se trouve une chair… dans les habitudes du quotidien qui se répètent. Peut-on dire que ce qui va du côté de l’habitude n’est PAS l’amour ? C’est compliqué.
    Il suffit que l’être aimé disparaisse… avec les habitudes pour que surgisse l’absence… de l’amour… Mais l’amour se définit tout aussi bien, peut-être, par l’apparition de son absence ?
    Il est peut-être regrettable qu’en Occident nous disposions de si peu de mots pour parler de la relation charnelle qui lie des êtres. Cela fait porter un poids de polysémie dommageable à un seul mot. La polysémie est certes une richesse, mais qui a ses contreparties.
    Intéressant le problème de l’anonymat. Je pressens depuis longtemps combien l’anonyme est vital à la vie humaine. Il s’agit de la mystérieuse graisse dans les rouages, des petites mains, comme on les appelle, sans qui ceux qui sont sous les projecteurs ne peuvent pas briller.
    Je crois qu’il faut dire que pour Badiou, Dieu ne joue pas aux dés…

    Aimé par 1 personne

    • alainlecomte dit :

      Oui. Merci de ces propos. « la Révolution Française continue à se dérouler sous nos yeux »… en un sens oui, mais elle a aussi été déclarée close un jour (1794?), comme il faudra un jour que s’arrête… le mouvement des gilets jaunes. Que reste-t-il alors? Ce que dit Badiou est: une « fidélité » à l’événement, sans mettre sous ce mot un jugement de valeur. Est événement en quelque sorte ce qui crée une fidélité. Les choix de Badiou sont discutables en la matière (Révolution, Octobre 17, Révolution Culturelle, Mai 68…). Ailleurs il a aussi parlé du Christ… Vous êtes libre d’avoir « vos » événements! (c’est pour cela que l’amour entre en ligne de compte). Ce qui me turlupune toujours, c’est le rapport à la vérité… Badiou en fait un mais je dois avouer que je ne le comprends pas encore très bien… Nous verrons plus tard!

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